Какова площадь поверхности S прямоугольного параллелепипеда, все измерения которого равны, если он охвачен сферой

Ameliya

26

Добро пожаловать! Давайте решим вашу задачу о площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, охваченного сферой с радиусом \( R \). Для начала, давайте определим формулу для площади поверхности параллелепипеда.

Площадь поверхности параллелепипеда можно найти, складывая площади всех его граней. Параллелепипед имеет 6 граней в общем, и все его грани являются прямоугольниками.

Обозначим стороны параллелепипеда как \( a \), \( b \) и \( c \). Тогда площадь поверхности параллелепипеда будет равна сумме площадей всех его граней:

\[ S = 2(ab + ac + bc) \]

Теперь давайте перейдем к второй части задачи - к описанию сферы, охватывающей этот параллелепипед. Мы знаем, что радиус сферы равен \( R \).

Если сфера охватывает параллелепипед, значит, диагональ параллелепипеда равна диаметру этой сферы. Диагональ параллелепипеда - это линия, соединяющая противоположные вершины параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда можно найти, используя теорему Пифагора.

Давайте обозначим диагональ как \( d \). Если радиус сферы равен \( R \), то диагональ будет равна двум радиусам сферы:

\[ d = 2R \]

Теперь у нас есть значение диагонали параллелепипеда. С помощью диагонали мы можем найти значения его сторон \( a \), \( b \) и \( c \).

Для прямоугольного параллелепипеда, где все измерения равны, диагональ и стороны связаны следующей формулой:

\[ d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \]

Так как в данном случае все измерения равны, мы можем записать:

\[ d^2 = 3a^2 \]

Подставим значение \( d \) в это уравнение:

\[ (2R)^2 = 3a^2 \]
\[ 4R^2 = 3a^2 \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( a \):

\[ a^2 = \frac{4R^2}{3} \]
\[ a = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} \]

Зная значение стороны \( a \), мы можем найти площадь поверхности параллелепипеда, подставив ее в исходную формулу:

\[ S = 2(ab + ac + bc) \]
\[ S = 2\left(\sqrt{\frac{4R^2}{3}}\right)^2 \]

А теперь давайте упростим это выражение:

\[ S = 2\left(\frac{4R^2}{3}\right) \]
\[ S = \frac{8R^2}{3} \]

Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, все измерения которого равны, и который охвачен сферой радиуса \( R \), равна \(\frac{8R^2}{3}\).

Надеюсь, данное пошаговое решение поможет вам понять, как найти площадь поверхности параллелепипеда, охваченного сферой. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!