Какова площадь поверхности сферы, если A, B и C находятся на ней таким образом, что АВ=6 см, а угол АСВ=60°? Известно

Надежда

30

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для площади поверхности сферы \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности сферы, \(\pi\) - математическая константа, и \(r\) - радиус сферы.

По условию задачи, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника АВС равно 2 см. Обозначим это расстояние как \(h\). Также, измерим длину стороны треугольника АВ, равную 6 см.

На начальном этапе решения нарисуем чертеж задачи:
(вставить чертеж)

Заметим, что треугольник АВС образует равносторонний треугольник, так как задан угол между сторонами.

Для нахождения радиуса сферы, воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника: \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставив известные значения в формулу, получим:
\(2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 \Rightarrow 2 = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{2}{3}\).

Теперь, мы можем найти радиус сферы, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
\(r^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).

Подставив значения в формулу, получим:
\(r^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 \Rightarrow r^2 = \frac{4}{9} + 9 \Rightarrow r^2 = \frac{97}{9}\).

Таким образом, радиус сферы равен \(\sqrt{\frac{97}{9}} = \frac{\sqrt{97}}{3}\).

Наконец, подставим найденное значение радиуса в формулу для площади поверхности сферы, чтобы получить окончательный ответ:
\(S = 4\pi \left(\frac{\sqrt{97}}{3}\right)^2\).

Выполнив необходимые вычисления, получим:
\(S = 4\pi \cdot \frac{97}{9} = \frac{388\pi}{9}\).

Таким образом, площадь поверхности сферы составляет \(\frac{388\pi}{9}\) квадратных сантиметров.