Какова площадь поверхности тела, которое возникает при вращении прямоугольника с размерами сторон 4 см и 6 см вокруг

Yangol

39

Чтобы найти площадь поверхности тела, возникающего при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через центры его длинных сторон, мы можем использовать метод цилиндра. При вращении прямоугольника вокруг оси, каждая точка прямоугольника создает окружность. Мы можем рассмотреть прямоугольник как бесконечное количество бесконечно маленьких прямоугольников, каждый из которых вращается, чтобы создать бесконечно маленький цилиндр. Таким образом, площадь поверхности тела, возникающего при вращении прямоугольника, будет равна сумме площадей всех этих бесконечно маленьких цилиндров.

Для решения этой задачи мы будем использовать интегралы. Обозначим x как переменную, которая будет изменяться от 0 до ширины прямоугольника. Пусть h(x) будет функцией, представляющей высоту бесконечно маленького цилиндра в зависимости от значения x. В данной задаче высота цилиндра в каждой точке будет соответствовать длине прямоугольника, то есть 6 см.

Следовательно, площадь поверхности бесконечно маленького цилиндра dS(x) будет равна окружности, полученной при вращении длинной стороны прямоугольника вокруг оси. Длина этой окружности равна 2πh(x), где h(x) = 6 см. Тогда dS(x) = 2π * 6 * dx, где dx - это бесконечно маленький шаг изменения переменной x.

Теперь мы можем записать интеграл для нахождения полной площади поверхности тела. Интеграл будет выражаться следующим образом:

\[S = \int_{0}^{4} dS(x) = \int_{0}^{4} 2\pi \cdot 6 \cdot dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = 2\pi \cdot 6 \cdot \int_{0}^{4} dx = 2\pi \cdot 6 \cdot [x]_{0}^{4} = 2\pi \cdot 6 \cdot (4 - 0) = 48\pi \ cm^2\]

Таким образом, площадь поверхности тела, возникающего при вращении прямоугольника с размерами сторон 4 см и 6 см вокруг оси, проходящей через центры его длинных сторон, равна \(48\pi \, \text{см}^2\).