Какова площадь поверхности тела, полученного вращением равнобедренной трапеции с основаниями 10 см и 18 см и высотой

Yana

37

Ок, давайте найдем площадь поверхности тела, полученного вращением равнобедренной трапеции. Для этого нам понадобится формула для площади поверхности вращения.

Формула для площади поверхности вращения тела вокруг оси представляется следующим образом:

\[ S = 2\pi \int_{a}^{b} x \sqrt{1+(f"(x))^2}dx, \]

где \( S \) - площадь поверхности тела, \( a \) и \( b \) - границы интервала интегрирования, \( f(x) \) - функция, описывающая кривую, вокруг которой происходит вращение, а \( f"(x) \) - ее производная.

В нашем случае мы имеем равнобедренную трапецию с основаниями 10 см и 18 см, и высотой 3 см. Чтобы найти функцию \( f(x) \), описывающую кривую, вокруг которой происходит вращение, мы можем построить прямую линию, соединяющую вершины оснований трапеции, и затем отразить ее относительно оси вращения.

Таким образом, получаем функцию \( f(x) = \frac{x}{2} \), где \( x \) находится в диапазоне от -5 до 5 (половина разности длин оснований трапеции).

Теперь, для нахождения производной \( f"(x) \), возьмем производную от функции \( f(x) \):

\[ f"(x) = \frac{1}{2}. \]

Теперь мы можем подставить все значения в формулу для площади поверхности:

\[ S = 2\pi \int_{-5}^{5} x \sqrt{1+(1/2)^2}dx. \]

Вычислив данную интеграл, получаем:

\[ S = 2\pi \int_{-5}^{5} x \sqrt{5/4}dx = \frac{5\pi}{2} \int_{-5}^{5} xdx. \]

Проинтегрируем это:

\[ S = \frac{5\pi}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-5}^{5} = \frac{5\pi}{2} \left( \frac{5^2}{2} - \frac{(-5)^2}{2} \right).\]

Вычисляя, получаем:

\[ S = \frac{5\pi}{2} \left( \frac{25}{2} - \frac{25}{2} \right) = \frac{125\pi}{2}. \]

Итак, площадь поверхности тела, полученного вращением равнобедренной трапеции, равна \( \frac{125\pi}{2} \) квадратных сантиметров.