Какова площадь прямоугольника KLCD, если его диагональ составляет 40 см и угол между диагоналями равен 150°?

Сергеевна

61

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему синусов. Применим эту теорему к треугольнику KLC для нахождения одной из сторон прямоугольника.

По теореме синусов, отношение длины стороны к синусу её противолежащего угла в треугольнике равно одной константе. В данном случае у нас есть две стороны, KL и KC, и угол между ними, 150°. Пусть длина KC равна x, тогда длина KL будет равна 40 - x, так как длина диагонали равна 40 см.

Теперь мы можем записать уравнение на основе теоремы синусов:

\[\frac{{KL}}{{\sin(150°)}} = \frac{{KC}}{{\sin(90°)}}\]

Обратите внимание, что мы используем синус 150° и синус 90°, так как они соответствуют углам треугольника.

Следовательно, у нас есть:

\[\frac{{40 - x}}{{\sin(150°)}} = \frac{{x}}{{\sin(90°)}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x. Для этого сначала представим синусы 150° и 90° в виде их значений:

\[\frac{{40 - x}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = \frac{{x}}{{1}}\]

Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[2(40 - x) = x\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[80 - 2x = x\]

Теперь сложим 2x с обеих сторон уравнения:

\[80 = 3x\]

И наконец, разделим обе части на 3, чтобы найти значение x:

\[x = \frac{{80}}{{3}}\]

Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти длину KL:

\[KL = 40 - x = 40 - \frac{{80}}{{3}}\]

Вот и ответ:

Длина стороны KL прямоугольника KLCD равна \(40 - \frac{{80}}{{3}}\) см.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, мы умножим длину KL на длину KC:

\[S = KL \times KC = \left(40 - \frac{{80}}{{3}}\right) \times \frac{{80}}{{3}}\]