Какова длина стороны АВ в параллелограмме, если АВСDВС равна 4 корня из 2 см, ∠СDА равен 105° и ∠ВАС равен 45°?

Шустр

54

Чтобы найти длину стороны AB в параллелограмме, вам необходимо использовать информацию о других сторонах и углах параллелограмма. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Мы знаем, что AC = BD, так как в параллелограмме противоположные стороны равны.
Шаг 2: У нас есть информация о длинах сторон параллелограмма. Мы можем использовать эту информацию, чтобы выразить AC и BD через сторону AB.
Шаг 3: Мы также знаем, что ∠СDA = ∠АВС (смежные углы), а ∠СDА = 105° и ∠ВАС = 45°. Мы можем использовать эти углы, чтобы найти остальные углы параллелограмма.
Шаг 4: Затем мы можем использовать найденные углы и информацию о сторонах, чтобы применить тригонометрические функции и найти сторону AB.

Давайте выполним каждый шаг подробнее.

Шаг 1: AC = BD
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AC = BD.

Шаг 2: Выражаем AC и BD через AB
По теореме Пифагора, в треугольнике ABC со сторонами AB, BC и AC справедливо:
AB^2 = BC^2 + AC^2
Так как BC = AD и AC = BD, мы можем записать это уравнение в виде:
AB^2 = AD^2 + AC^2

Используем информацию из условия задачи. Мы знаем, что AD = 4√2 см, поэтому:
AB^2 = (4√2)^2 + AC^2
AB^2 = 16 * 2 + AC^2
AB^2 = 32 + AC^2 -- (1)

Теперь нам нужно найти AC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ACD:
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠CDA)

Подставляем известные значения:
AC^2 = (4√2)^2 + CD^2 - 2 * 4√2 * CD * cos(105°)
AC^2 = 16 * 2 + CD^2 - 8√2 * CD * cos(105°)
AC^2 = 32 + CD^2 - 8√2 * CD * (-0.2588190451)

Для нахождения длины CD нам нужно использовать теорему синусов.
Рассмотрим треугольник ACD. Применим теорему синусов для него:
CD / sin(∠CDA) = AD / sin(∠ACD)
CD / sin(105°) = 4√2 / sin(∠ACD)

Мы знаем, что sin(105°) ≈ 0.9659258263 и sin(∠ACD) ≈ 0.7071067812 (так как ∠ACD = 180° - ∠CDA = 180° - 105° = 75°).
Заменяем известные значения:
CD / 0.9659258263 = 4√2 / 0.7071067812
CD ≈ 4.61880215

Вернемся к уравнению для AC^2:
AC^2 = 32 + (4.61880215)^2 - 8√2 * 4.61880215 * (-0.2588190451)
AC ≈ 6.86023255

Теперь мы знаем AC, и мы можем вернуться к уравнению (1) для AB:
AB^2 = 32 + (6.86023255)^2
AB ≈ 8.456203452

Таким образом, длина стороны AB в этом параллелограмме примерно равна 8.456203452 см.