Какова площадь прямоугольника, образованного пересечением биссектрис углов данного параллелограмма со сторонами длиной

Mihaylovna_334

40

Для начала, давайте вспомним, что такое биссектриса угла. Биссектриса угла - это линия, которая делит данный угол на две равные части.

В данной задаче у нас есть параллелограмм со сторонами длиной 10. Рассмотрим биссектрисы углов этого параллелограмма.

Так как параллелограмм имеет противоположные стороны, равные и параллельные друг другу, пересечение биссектрис углов будет образовывать прямоугольник. Почему именно прямоугольник? Потому что биссектрисы углов параллелограмма перпендикулярны его сторонам.

Таким образом, чтобы найти площадь этого прямоугольника, нам сначала нужно найти длины его сторон.

Поскольку углы параллелограмма разбиваются на две равные части, пересекающиеся в его центре, биссектрисы будут проходить через центр параллелограмма. Заметим, что биссектрисы являются диагоналями, делящими параллелограмм на два равных треугольника. Таким образом, у нас получаются два равных треугольника с боковой стороной длиной 10.

Равнобедренный треугольник имеет биссектрису, которая делит его на две равные стороны. В данном случае, имея два равных треугольника с одной общей стороной длиной 10, мы можем применить свойство равнобедренных треугольников и получить, что высота их равна половине диагонали параллелограмма.

Таким образом, длина высоты прямоугольника будет равна половине диагонали параллелограмма. Для нахождения длины диагонали параллелограмма, мы можем использовать теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами параллелограмма и диагональю.

Диагональ параллелограмма является гипотенузой этого треугольника, а стороны параллелограмма - это его катеты. Так как стороны параллелограмма имеют длину 10, с помощью теоремы Пифагора мы можем найти длину диагонали параллелограмма:

\[диагональ = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.14\]

Теперь, чтобы найти длину высоты прямоугольника, мы делим длину диагонали напополам:

\[высота = \frac{диагональ}{2} = \frac{\sqrt{200}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

Таким образом, длина высоты прямоугольника равна \(5\sqrt{2}\).

Теперь мы можем использовать длину высоты и стороны 10, чтобы найти площадь прямоугольника, образованного пересечением биссектрис углов этого параллелограмма. Площадь прямоугольника можно вычислить, умножив длину одной стороны на длину другой стороны:

\[площадь = 10 \times 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2}\]

Таким образом, площадь прямоугольника, образованного пересечением биссектрис углов данного параллелограмма со сторонами длиной 10, равна \(50\sqrt{2}\).