Какова площадь прямоугольного равнобедренного треугольника, если его средняя линия параллельна гипотенузе и равна

Змея

33

Для решения данной задачи, давайте сначала ознакомимся с некоторыми свойствами прямоугольного равнобедренного треугольника.

Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и прямой угол. Обозначим катеты этого треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\).

Согласно данной задаче, средняя линия параллельна гипотенузе и равна 4 см. Обозначим длину гипотенузы \(c\), а длину средней линии как \(d\).

\(\overline{AM}\) - средняя линия

\[AM = 4 \, \text{см}\]

Рассмотрим треугольники \(\triangle OAM\) и \(\triangle OCB\) на рисунке, где \(O\) - середина гипотенузы, а \(M\) и \(B\) - середины катетов.

\[
\triangle OAM \sim \triangle OCB
\]

Так как треугольники \(\triangle OAM\) и \(\triangle OCB\) подобны, то можно использовать их соотношение сторон:

\[
\frac{OA}{OC} = \frac{OM}{OB} = \frac{AM}{CB}
\]

Так как средняя линия делит отрезок на две равные части, то:

\[
AM = \frac{CB}{2}
\]

Используя это соотношение, перепишем предыдущее:

\[
\frac{OA}{OC} = \frac{OM}{OB} = \frac{\frac{CB}{2}}{CB}
\]

Сократим дробь и получим:

\[
\frac{OA}{OC} = \frac{OM}{OB} = \frac{1}{2}
\]

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle OCB\). Так как \(\triangle OCB\) - прямоугольный треугольник, то применим теорему Пифагора:

\[
OC^2 = OB^2 + BC^2
\]

А так как треугольник равнобедренный, \(OB = BC\):

\[
OC^2 = OB^2 + OB^2 = 2 \times OB^2
\]

Тогда:

\[
OB = \frac{OC}{\sqrt{2}}
\]

Так как прямоугольный треугольник \(\triangle OCB\) подобен \(\triangle OAM\), можно воспользоваться соотношением сторон:

\[
\frac{OA}{OC} = \frac{OM}{OB}
\]

Подставим значения:

\[
\frac{1}{2} = \frac{4}{\frac{OC}{\sqrt{2}}}
\]

Домножим обе стороны уравнения на \(\frac{OC}{\sqrt{2}}\):

\[
\frac{OC}{\sqrt{2}} = 8
\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[
OC = 8\sqrt{2}
\]

Теперь зная длину гипотенузы \(OC\), мы можем найти площадь треугольника. Формула для площади прямоугольного равнобедренного треугольника:

\[
S = \frac{c^2}{2}
\]

Подставим значение длины гипотенузы и решим:

\[
S = \frac{(8\sqrt{2})^2}{2} = \frac{128}{2} = 64 \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь данного прямоугольного равнобедренного треугольника равна 64 квадратных сантиметра.