Какова площадь прямоугольной трапеции abcd, где большая боковая сторона равна 8 см, угол a составляет 60 градусов

Снежка_889

49

Для начала, давайте нарисуем прямоугольную трапецию abcd и обозначим известные значения:

\[
\begin{align*}
\text{Большая боковая сторона } ab &= 8 \text{ см} \\
\text{Угол } \angle a &= 60^\circ \\
\text{Высота } bh & \text{ делит основание } ad \text{ пополам}
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы вычислить площадь трапеции, нам нужно знать длины ее оснований. Поскольку высота делит основание пополам, мы можем обозначить длину одной части основания, а, как \(x\), а другую часть, d, также равной \(x\). Сумма длин оснований будет равняться \(2x\).

У нас есть информация о большей боковой стороне ab, которая равна 8 см. Так как угол a равен 60 градусов, мы можем использовать тригонометрию для вычисления длины меньшей боковой стороны bc.

Используя тригонометрический закон синусов в треугольнике abc, мы можем выразить bc через ab и угол a:

\[
\frac{{\sin(\angle a)}}{{bc}} = \frac{{\sin(\angle b)}}{{ab}}
\]

Поскольку угол a равен 60 градусов, мы подставим его значение:

\[
\frac{{\sin(60^\circ)}}{{bc}} = \frac{{\sin(\angle b)}}{{8 \text{ см}}}
\]

Тригонометрический синус 60 градусов равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), поэтому мы можем записать:

\[
\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}{{bc}} = \frac{{\sin(\angle b)}}{{8 \text{ см}}}
\]

Переставим переменные в уравнении:

\[
bc = \frac{{8 \text{ см}}}{{\sin(\angle b)}} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}
\]

Теперь у нас есть выражение для длины меньшей боковой стороны bc через угол b.

Так как трапеция прямоугольная, угол b также равен 90 градусов, поэтому \(\sin(\angle b) = 1\). Мы можем заменить это значение в уравнении:

\[
bc = \frac{{8 \text{ см}}}{{1}} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = 4\sqrt{3} \text{ см}
\]

Теперь у нас есть длины обеих боковых сторон ab и bc. Мы можем вычислить площадь трапеции при помощи следующей формулы:

\[
\text{Площадь трапеции } A = \frac{{\text{Сумма оснований} \times \text{Высота}}}{2}
\]

Подставим известные значения:

\[
A = \frac{{(8 \text{ см} + 4\sqrt{3} \text{ см}) \times \text{Высота}}}{2}
\]

Поскольку высота bh делит основание ad пополам, тогда ad = 2x и высота равна \(h = bd\). Заменим значения:

\[
A = \frac{{(8 \text{ см} + 4\sqrt{3} \text{ см}) \times bd}}{2}
\]

Таким образом, мы можем сказать, что площадь трапеции abcd равна \(\frac{{(8 \text{ см} + 4\sqrt{3} \text{ см}) \times bd}}{2}\) или \(\frac{{(8 + 4\sqrt{3}) \times bd}}{2}\) (в сантиметрах квадратных)