Какова площадь прямоугольной трапеции с основаниями длиной 18 см и 24 см, при условии, что один из углов равен

Елизавета

33

Для начала, распишем информацию, которая дана в задаче. У нас есть прямоугольная трапеция, у которой одно из оснований равно 18 см, а другое основание равно 24 см. Также задано, что один из углов трапеции равен 90 градусов.

Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы для площади трапеции. Площадь трапеции можно вычислить, используя следующую формулу:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

В нашем случае, одно из оснований равно 18 см, второе основание равно 24 см, а высота трапеции нам неизвестна. Однако, мы можем использовать знание того, что один из углов трапеции равен 90 градусов, чтобы найти высоту.

Поскольку один из углов трапеции является прямым, мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника. Один из них будет внутри трапеции, а второй - снаружи. Оба треугольника будут подобными.

Теперь используем теорему Пифагора для поиска высоты. Внутренний треугольник, образованный высотой и одним из оснований трапеции, будет иметь гипотенузу длиной 18 см и катет равный \(h\). Снаружи треугольника будет гипотенуза длиной 24 см, а катет также равен \(h\).

Используя теорему Пифагора для каждого из треугольников, мы можем записать следующие уравнения:

\(\sqrt{h^2 + x^2} = 18\)
\(\sqrt{h^2 + y^2} = 24\)

где \(x\) и \(y\) - катеты треугольников внутри и снаружи трапеции соответственно.

Теперь, найдем высоту \(h\) в первом уравнении:

\(h^2 + x^2 = 18^2\)
\(h^2 = 18^2 - x^2\)
\(h = \sqrt{18^2 - x^2}\)

Аналогично, найдем высоту \(h\) во втором уравнении:

\(h^2 + y^2 = 24^2\)
\(h^2 = 24^2 - y^2\)
\(h = \sqrt{24^2 - y^2}\)

Так как высота треугольника должна быть одинаковой в обоих случаях, мы можем приравнять выражения:

\(\sqrt{18^2 - x^2} = \sqrt{24^2 - y^2}\)

Возводим обе части уравнения в квадрат для упрощения:

\(18^2 - x^2 = 24^2 - y^2\)

Решаем уравнение относительно \(y^2\):

\(y^2 = 24^2 - 18^2 + x^2\)

Теперь мы можем использовать это значение \(y^2\) и подставить его в формулу площади трапеции:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{18 + 24}{2} \cdot \sqrt{18^2 - x^2}\]

Осталось только вычислить значение площади, подставив известные значения:

\[S = \frac{18 + 24}{2} \cdot \sqrt{18^2 - x^2}\]

Полученное выражение уже не содержит неизвестных переменных, поэтому мы можем рассчитать площадь трапеции.