Какова площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, вершины гипотенузы которого имеют координаты (3; -1)?

Robert

63

Хорошо, чтобы найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, нам нужно знать длину его гипотенузы и высоту, опущенную на основание.

Известны координаты вершины гипотенузы треугольника, а именно (3, -1). Давайте используем эти координаты, чтобы найти длину гипотенузы.

Для этого нам понадобится применить формулу расстояния между двумя точками на плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек. В данном случае, (x1, y1) - координаты первой вершины гипотенузы (3, -1), а (x2, y2) - координаты второй вершины, которые пока неизвестны.

Поскольку треугольник равнобедренный, длина гипотенузы будет равна длине одного из катетов. Высота треугольника – это отрезок, опущенный из вершины гипотенузы на основание треугольника, являющийся перпендикулярным этому основанию.

Обозначим (a,b) – вершина перпендикуляра к основанию, находящегося на противоположной стороне катета. Тогда для вычисления значения a и b нужно учесть, что уравнение линии, проходящей через две заданные точки может быть записано в общем виде следующим образом:

\[y - y_1 = \frac{{(y_2 - y_1)}}{{(x_2 - x_1)}}(x - x_1)\]

Подставим известные координаты первой вершины гипотенузы (x1, y1) = (3, -1) и полученные переменные координаты для второй вершины гипотенузы (x2, y2).

\[b + 1 = \frac{{y_2 + 1}}{{x_2 - 3}}(a - 3)\]

Теперь, имея две формулы, мы можем решить систему уравнений методом подстановки, чтобы найти a и b. После нахождения этих значений, мы будем знать координаты вершины перпендикуляра (a, b).

Зная координаты вершины перпендикуляра, мы можем использовать формулу расстояния между точками еще раз, чтобы найти длину гипотенузы.

После нахождения длины гипотенузы мы можем применить формулу для нахождения площади равнобедренного прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

где a и b – основание и высота треугольника соответственно.

Обработаем все эти шаги по очереди, чтобы найти площадь треугольника.