Какова площадь равнобедренной трапеции с углом в одном из ее углов, равным 150°, при условии, что ее меньшее основание

Ясли

42

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о формуле площади трапеции и тригонометрии.

Формула для расчета площади трапеции выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

Сначала нам необходимо найти высоту трапеции. Мы знаем, что один из углов равнобедренной трапеции составляет 150°. Раз так, можно заметить, что вершина этого угла делит трапецию на два равнобедренных треугольника. Теперь вспомним правило синусов для треугольников:

\[\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\) и \(C\) - соответствующие углы.

В нашем случае, у нас есть следующие значения:
\(a = 9\) см - меньшее основание равнобедренной трапеции
\(B = 150°\) - угол равный 150°
\(C = A = \frac{{180° - B}}{2}\) - так как треугольник равнобедренный, углы \(A\) и \(C\) равны между собой

Теперь мы можем используя правило синусов, найти сторону \(b\), которая соответствует стороне \(a\) треугольника, и заметить, что эта сторона также будет являться высотой трапеции.

\[\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}}\]

\[\frac{{9}}{{\sin(\frac{{180 - 150}}{2})}} = \frac{{b}}{{\sin 150}}\]

\[\frac{{9}}{{\sin 15}} = \frac{{b}}{{\sin 150}}\]

Теперь найдем синусы углов.

\(\sin 15° \approx 0.259\)

\(\sin 150° = \sin(180° - 150°) = \sin 30° = 0.5\)

Теперь, найдем значение стороны \(b\):

\[\frac{{9}}{{0.259}} = \frac{{b}}{{0.5}}\]

\[b = \frac{{9 \cdot 0.5}}{{0.259}} = \frac{{4.5}}{{0.259}}\approx 17.337\text{ см}\]

Таким образом, мы нашли значение стороны \(b\), которая является высотой трапеции.

Теперь мы можем использовать формулу для расчета площади трапеции:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{{(9 + 17.337) \cdot 17.337}}{2}\]

\[S \approx 189.15\text{ см}^2\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с углом в одном из ее углов, равным 150° и с меньшим основанием равным 9 см, а боковой стороной равной \(263\sqrt{}}\) приближенно равна \(189.15\text{ см}^2\).