Какова площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, которая проходит через середину меньшего

Sladkaya_Ledi_3118

49

Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства равностороннего треугольника и прямоугольного треугольника.

Первым шагом давайте построим рисунок, чтобы визуализировать данную ситуацию.

В равностороннем треугольнике длина всех сторон одинакова, поэтому давайте обозначим длину стороны равностороннего треугольника как "a".

Теперь, по условию задачи, нам дано, что окружность проходит через середину меньшего катета и середину гипотенузы прямоугольного треугольника. Из этого следует, что радиус окружности равен половине длины меньшего катета прямоугольного треугольника, а также равен половине длины гипотенузы.

С помощью теоремы Пифагора мы можем найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть "a" - длина катетов прямоугольного треугольника, тогда по теореме Пифагора:

\[гипотенуза^2 = катет_1^2 + катет_2^2\]
\[гипотенуза^2 = a^2 + a^2\]
\[гипотенуза^2 = 2a^2\]
\[гипотенуза = \sqrt{2}a\]

Теперь мы знаем, что радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равен \(\frac{a}{2}\) и равен \(\frac{\sqrt{2}a}{2}\) одновременно.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[Площадь = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Теперь, чтобы найти площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, мы можем использовать следующий факт:

Площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, равна площади самой окружности.

Формула площади окружности выглядит следующим образом:

\[Площадь_{окружности} = \pi \cdot радиус^2\]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, будет равна:

\[Площадь_{равностороннего треугольника} = \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Подставив значение радиуса, получим:

\[Площадь_{равностороннего треугольника} = \pi \cdot \frac{a^2}{4}\]

Однако, мы помним, что по условию задачи, радиус окружности также равен \(\frac{\sqrt{2}a}{2}\), поэтому мы можем заменить значение радиуса:

\[Площадь_{равностороннего треугольника} = \pi \cdot \frac{\left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2}{4}\]

Упростим выражение и продолжим:

\[Площадь_{равностороннего треугольника} = \frac{\pi \cdot 2a^2}{16}\]

\[Площадь_{равностороннего треугольника} = \frac{\pi a^2}{8}\]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, будет равна \(\frac{\pi a^2}{8}\) или можно сказать, что это восьмая часть площади окружности с радиусом \(\frac{a}{2}\).