Какова площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 23√мм? Каков радиус окружности вписанной в данный

Pugayuschiy_Lis_9015

52

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Сначала найдем площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 23√мм.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[Площадь = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

В данном случае, длина стороны треугольника равна 23√мм. Давайте подставим это значение в формулу:
\[Площадь = \frac{{(23\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Вычислим это выражение:
\[Площадь = \frac{{23^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = \frac{{529 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Теперь упростим:
\[Площадь = \frac{{1587\sqrt{3}}}{4} = 396.75\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 23√мм равна \(396.75\sqrt{3}\) квадратных миллиметров.

Теперь перейдем к нахождению радиуса вписанной окружности.

В равностороннем треугольнике, радиус вписанной окружности связан с длиной стороны следующим образом:
\[Радиус_{вписанной\ окружности} = \frac{{Сторона_{треугольника}}}{2\sqrt{3}}\]

Подставим значение стороны треугольника:
\[Радиус_{вписанной\ окружности} = \frac{{23\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{{23}}{2}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет \(\frac{{23}}{2}\) миллиметров.

Наконец, найдем радиус описанной окружности.

В равностороннем треугольнике, радиус описанной окружности связан с длиной стороны следующим образом:
\[Радиус_{описанной\ окружности} = \frac{{Сторона_{треугольника}}}{2}\]

Подставим значение стороны треугольника:
\[Радиус_{описанной\ окружности} = \frac{{23\sqrt{3}}}{2}\]

Таким образом, радиус описанной окружности составляет \(\frac{{23\sqrt{3}}}{2}\) миллиметров.