Какова площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, если разверткой боковой поверхности

Сквозь_Тьму_6289

53

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем длину окружности основания конуса.
Длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус основания конуса.
У нас дан радиус \(6\) см, следовательно, длина окружности основания конуса равна \(2\pi \cdot 6 = 12\pi\) см.

Шаг 2: Найдем длину дуги развертки боковой поверхности конуса.
У нас дана градусная мера дуги \(60°\) и радиус \(6\) см. Длина дуги развертки вычисляется следующим образом: \(l = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi r\), где \(\theta\) - градусная мера дуги, \(r\) - радиус конуса.
Подставляя значения, получим: \(l = \frac{60}{360°} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot 6 = \pi\) см.

Шаг 3: Найдем длину отрезка ТВ.
У нас дано соотношение длин отрезков АТ и ТВ, \(АТ : ТВ = 1:2\). Это означает, что длина отрезка ТВ равна двум длинам отрезка АТ, или \(ТВ = 2 \cdot АТ\).
Из рисунка видно, что отрезок АТ является радиусом сектора ВАС, а \(ВТ\) - высота конуса. Поскольку высота конуса равна трети его радиуса, получаем \(VT = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\) см.
Тогда, \(ТВ = 2 \cdot 2 = 4\) см.

Шаг 4: Найдем площадь сечения конуса параллельной плоскости основания.
Так как секущая плоскость параллельна плоскости основания конуса, сечение будет представлять собой сектор круга с радиусом \(ТВ\) и центром в вершине конуса.
Площадь сектора круга можно вычислить по формуле \(S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2\), где \(\theta\) - градусная мера дуги, \(r\) - радиус сектора.
Подставляя значения, получим: \(S = \frac{60°}{360°} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 16 = \frac{8}{3}\pi\) кв.см.

Таким образом, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, составляет \(\frac{8}{3}\pi\) кв.см.