Какова площадь сечения шара, когда через его диаметр проведена плоскость под углом 45° к нему?

Хрусталь_7183

62

Для начала разберемся с определением площади сечения шара. Под площадью сечения шара понимают площадь фигуры, которая появляется при пересечении шара и плоскости.

В нашем случае, плоскость проведена через диаметр шара под углом 45° к нему. Для начала найдем формулу площади сечения.

Площадь сечения шара можно выразить через площадь круга. Для этого используется соотношение:

\[S_{\text{сечения}} = S_{\text{круга}} \cdot \cos(\alpha)\]

где \(S_{\text{сечения}}\) - площадь сечения шара, \(S_{\text{круга}}\) - площадь круга (основания сечения), \(\alpha\) - угол между плоскостью и диаметром (в нашем случае 45°).

Прежде чем продолжить, нам нужно найти площадь круга. Для этого воспользуемся формулой:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2\]

где \(S_{\text{круга}}\) - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3.14159, \(r\) - радиус шара.

Теперь, чтобы продолжить, мы должны знать радиус шара. Но у нас есть только диаметр. Так как диаметр шара равен 2 радиусам, мы можем выразить радиус в зависимости от диаметра:

\[r = \frac{{\text{диаметр}}}{{2}}\]

В нашем случае диаметр создает прямоугольный треугольник, и мы можем найти длину стороны, используя теорему Пифагора:

\[\text{длина стороны} = r \cdot \sin(\alpha)\]

где \(\sin(\alpha)\) - синус угла \(\alpha\) (в нашем случае 45°).

Теперь, когда у нас есть длина стороны, мы можем выразить радиус:

\[r = \frac{{\text{длина стороны}}}{{\sin(\alpha)}}\]

Подставим это значение радиуса в формулу для площади сечения:

\[S_{\text{сечения}} = S_{\text{круга}} \cdot \cos(\alpha) = (\pi \cdot r^2) \cdot \cos(\alpha)\]

Теперь мы можем подставить значение радиуса:

\[S_{\text{сечения}} = (\pi \cdot (\frac{{\text{длина стороны}}}{{\sin(\alpha)}})^2) \cdot \cos(\alpha)\]

Наконец, мы можем вычислить численное значение площади сечения, если у нас есть конкретные числовые значения для диаметра и угла.

Это подробное объяснение наглядно демонстрирует, как вывести формулу для площади сечения шара, когда плоскость проведена через его диаметр под углом 45° к нему. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как получить ответ на данную задачу.