Какова площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 45 градусов к нему, если диаметр

Милая

41

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы должны найти площадь сечения шара, которое образуется плоскостью, проходящей через конец диаметра шара под углом 45 градусов к нему. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание геометрии и формулы для площади круга.

Шаг 2: Построение схемы
Давайте представим шар и плоскость в виде схемы. Здесь я использовал LaTeX для визуализации:

\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) circle (1);
\draw[thick, ->] (0,0) -- (1,0) node[midway, below]{$d$};
\draw[thick] (0,0) -- (45:1) node[midway, above left]{$r$};
\draw[thick] (0,0) -- (45:1.5) node[midway, below right]{$h$};
\draw[dashed] (0,0) -- (-1,0);
\draw[dashed] (0,0) -- (45:2.5);
\draw[fill=blue!20] (0,0) -- (45:1) arc (45:135:1) -- cycle;
\draw (0,0) node[below left]{$O$};
\draw (45:2.5) node[above]{$P$};
\end{tikzpicture}
\]

Здесь, \(O\) - центр шара, \(d\) - диаметр шара, \(r\) - радиус шара, \(h\) - высота сечения шара, \(P\) - точка пересечения плоскости и шара.

Шаг 3: Нахождение радиуса и высоты сечения
Мы знаем, что диаметр шара равен \(d\). Так как плоскость проходит через конец диаметра под углом 45 градусов, то сторона треугольника, образующегося плоскостью, будет равна \(r\) (радиусу шара). Здесь мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, так как две стороны треугольника равны.

По теореме Пифагора, мы можем найти высоту сечения шара \(h\):

\[
h = \sqrt{r^2 - (\frac{r}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = \sqrt{\frac{r^2}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}}
\]

Шаг 4: Нахождение площади сечения
Площадь сечения шара может быть найдена как площадь равнобедренного треугольника с высотой \(h\) и основанием \(d\), умноженная на 2 и плюс площадь кругового сегмента, ограниченного сечением:

\[
S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot d \cdot h + \frac{\pi r^2}{4} = d \cdot h + \frac{\pi r^2}{4}
\]

Так как \(d = 2r\), мы можем заменить \(d\) на \(2r\) и получим:

\[
S = 2r \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{\pi r^2}{4} = \sqrt{2}r^2 + \frac{\pi r^2}{4} = r^2(\sqrt{2} + \frac{\pi}{4})
\]

Итак, площадь сечения шара составляет \(r^2(\sqrt{2} + \frac{\pi}{4})\).

Это детальное объяснение должно помочь школьнику понять всю логику и вычисления.