Какова площадь сектора ОАМВ, если на рисунке О является центром окружности, АОВ равна 120°, и площадь круга составляет

Zayka

31

Чтобы найти площадь сектора ОАМВ, мы должны сначала определить площадь всего круга, а затем найти долю этой площади, соответствующую центральному углу ОАВ, выраженному в градусах.

Дано, что площадь круга составляет 24 см². Формула для площади круга - \(\pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

Чтобы выразить радиус, мы можем использовать формулу для длины дуги окружности: \(L = 2\pi r \cdot \frac{120}{360}\), где \(L\) - дуга, \(120\) - центральный угол, \(360\) - полный угол окружности (360°).

Так как длина дуги равна \(2\pi r \cdot \frac{120}{360}\) и она равна площади круга (\(24 \, \text{см}^2\)), мы можем решить это уравнение, чтобы найти радиус. Получим:

\[2\pi r \cdot \frac{120}{360} = 24 \, \text{см}^2\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[\frac{2\pi r \cdot 120}{360} = 24 \, \text{см}^2\]

Умножая обе стороны на \(\frac{360}{120}\), получаем:

\[2\pi r = 72 \, \text{см}^2\]

И деля на \(2\pi\), получаем значение радиуса \(r\):

\[r = \frac{72}{2\pi} \, \text{см}\]

Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем найти площадь сектора ОАМВ. Формула для площади сектора - \(S_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{360}\pi r^2\), где \(\theta\) - центральный угол.

Подставляя значения, полученные ранее, получаем:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{120}{360}\pi \left(\frac{72}{2\pi}\right)^2\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{72^2}{\pi^2}\]

Затем упрощаем дальше:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{72^2}{\pi}\]

Таким образом, площадь сектора ОАМВ равна \(\frac{72^2}{3\pi}\) квадратных см.