Какова площадь тени на экране, вызванная точечным источником света, если диск диаметром 3 метра с отверстием диаметром

Marat

31

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрический подход и применить принципы подобия треугольников.

Для начала, давайте обозначим следующие величины:
- \(D\) - диаметр диска (3 метра)
- \(d\) - диаметр отверстия диска (1 метр)

Также нам дано, что диск с отверстием находится на полпути между источником света и экраном, параллельно экрану. Поэтому расстояние от источника света до экрана будет равно расстоянию от экрана до диска с отверстием.

Пусть \(x\) будет расстоянием от экрана до центра диска с отверстием, и \(y\) - расстоянием от источника света до центра диска. Таким образом, расстояние от источника света до экрана будет равно \(x + y\).

Мы можем заметить, что треугольники, образованные источником света, экраном и диском, являются подобными. Поэтому соотношение сторон этих треугольников будет равно:

\(\frac{x}{y} = \frac{D}{d}\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\):

\(x = \frac{y \cdot D}{d}\)

Так как задача требует вычислить площадь тени на экране, нам необходимо найти площадь треугольника, образованного одной из сторон экрана и расстоянием от источника света до экрана.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - основание треугольника (сторона экрана), \(h\) - высота треугольника (расстояние от источника света до экрана).

Заметим, что \(a = x + y\) (расстояние от источника света до экрана), а \(h = x\) (расстояние от экрана до центра диска с отверстием).

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через известные величины:

\(S = \frac{1}{2} \cdot (x + y) \cdot x\)

Подставим значение \(x\) из предыдущего уравнения:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{y \cdot D}{d} + y\right) \cdot \left(\frac{y \cdot D}{d}\right)\)

Сократим это выражение и упростим:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot y^2 + \frac{1}{2} \cdot y^2\)

Теперь нам нужно найти значение \(y\). Заметим, что из геометрии треугольников в этой задаче следует, что \(y = \frac{D}{2} - \frac{d}{2}\). Подставим это значение в уравнение площади:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot \left(\frac{D}{2} - \frac{d}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{D}{2} - \frac{d}{2}\right)^2\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot \left(\frac{D^2}{4} - \frac{Dd}{2} + \frac{d^2}{4}\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{D^2}{4} - \frac{Dd}{2} + \frac{d^2}{4}\right)\)

Объединим подобные слагаемые и получим окончательное выражение для площади тени на экране:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot \frac{D^2 + 2Dd + d^2}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{D^2 + 2Dd + d^2}{4}\)

Упростим это выражение:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot \frac{D^2 + 2Dd + d^2 + D^2 + 2Dd + d^2}{4}\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot \frac{2D^2 + 4Dd + 2d^2}{4}\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{D}{d} \cdot \frac{(D + d)^2}{4}\)

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, округлим площадь до десятых метра:

\(S \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{(3 + 1)^2}{4} \approx \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{16}{4} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\) (квадратных метров)

Таким образом, площадь тени на экране, вызванная точечным источником света, составляет примерно 6 квадратных метров.