Какова площадь трапеции DAEC, если площадь параллелограмма ABCD равна 128 и точка E является серединой стороны

Солнце

7

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств параллелограмма и трапеции.

Поскольку точка E является серединой стороны параллелограмма ABCD, то отрезок DE делит его на две равные части. Представим себе, что мы провели отрезок DE и соединили точку E с вершинами А и С. Полученный треугольник DЕС является прямоугольным, поскольку две его стороны (DE и EC) являются радиусами одной окружности, а другая сторона (DC) является диаметром этой окружности. Из этого следует, что угол DEC является прямым углом.

Теперь рассмотрим трапецию DAEC. Мы знаем, что площадь параллелограмма ABCD равна 128. Параллелограмм ABCD можно разделить на две равные треугольные части, проведя диагональ AC. Таким образом, каждая из этих частей имеет площадь 64.

Так как трапеция DAEC состоит из трех треугольников - двух равных треугольников ADE и CDE и прямоугольного треугольника DEC - то площадь трапеции может быть найдена как сумма площадей этих трех треугольников.

Площадь треугольника ADE может быть найдена по формуле:

\[S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DA\]

Поскольку точка E является серединой стороны, то отрезок DE равен половине стороны, а отрезок DA является высотой параллелограмма, перпендикулярной стороне DE. Обозначим высоту как h:

\[DE = \frac{1}{2} \cdot AB\]
\[DA = h\]

Тогда площадь треугольника ADE равна:

\[S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{4} \cdot AB \cdot h\]

Так как площадь треугольника CDE равна площади треугольника ADE, то:

\[S_{CDE} = \frac{1}{4} \cdot AB \cdot h\]

Наконец, площадь прямоугольного треугольника DEC может быть найдена по формуле:

\[S_{DEC} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EC\]

Поскольку DE равен половине стороны, а EC равен высоте, перпендикулярной стороне DE, то:

\[DE = \frac{1}{2} \cdot AB\]
\[EC = \frac{1}{2} \cdot h\]

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[S_{DEC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} \cdot h = \frac{1}{8} \cdot AB \cdot h\]

Теперь можем найти площадь всей трапеции DAEC как сумму площадей трех треугольников:

\[S_{DAEC} = S_{ADE} + S_{CDE} + S_{DEC} = \frac{1}{4} \cdot AB \cdot h + \frac{1}{4} \cdot AB \cdot h + \frac{1}{8} \cdot AB \cdot h\]

Сокращая общие множители, получаем:

\[S_{DAEC} = \frac{5}{8} \cdot AB \cdot h\]

Итак, площадь трапеции DAEC равна \(\frac{5}{8}\) произведению длины основания AB на высоту h. Зная, что площадь параллелограмма ABCD равна 128, подставляем это значение и находим площадь трапеции:

\[128 = \frac{5}{8} \cdot AB \cdot h\]

Разделив обе части уравнения на \(\frac{5}{8}\), получаем:

\[AB \cdot h = \frac{128}{\frac{5}{8}}\]

Умножая обе части уравнения на \(\frac{8}{5}\), получаем:

\[AB \cdot h = \frac{128 \cdot 8}{5}\]

Вычисляя эту величину, получаем:

\[AB \cdot h = \frac{1024}{5}\]

Таким образом, площадь трапеции DAEC равна \(\frac{1024}{5}\).

Я надеюсь, что объяснение и пошаговое решение были понятными для вас! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.