7) Какова площадь основания и высота призмы с основанием, представляющим собой равнобедренный треугольник klnacb

Григорьевич_9391

31

Давайте решим обе задачи поочередно.

Задача 7:
Дано:
Площадь грани \(aklb = 10\sqrt{3}\) см\(^2\), угол \(acb = 120^\circ\), \(ac = cb = 12\) см.

Мы знаем, что если грань основания призмы - равнобедренный треугольник, то высота основания проходит через вершину \(c\) и делит угол \(acb\) пополам (по свойству равнобедренных треугольников).

1. Найдем площадь основания \(aklb\).
У нас уже есть площадь грани \(aklb = 10\sqrt{3}\) см\(^2\).

2. Вычислим площадь равнобедренного треугольника \(kln\).
Так как треугольник \(aklb\) равнобедренный, то высота основания \(kh\) будет проходить через вершину \(k\) и разделять основание \(ln\) на две равные части (свойство равнобедренных треугольников).
Тогда площадь треугольника \(kln\) равна половине площади грани \(aklb\):

\[
S_{kln} = \frac{1}{2} \cdot S_{aklb}
= \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3}
= 5\sqrt{3} \, \text{см}^2
\]

3. Найдем длину основания треугольника \(ln\).
Так как треугольник \(aklb\) равнобедренный, то \(ln = \frac{1}{2} \cdot ab\), где \(ab\) - основание равнобедренного треугольника \(aklb\).
Найдем \(ab\):

\[
ab = 2 \cdot ln = 2 \cdot (\sqrt{3} \cdot kh)
\]

4. Найдем высоту треугольника \(ln\).
Мы знаем, что высота основания проходит через вершину \(c\) и разделяет угол \(acb\) пополам.
Тогда треугольник \(ln\) будет равнобедренным и высота \(lh\) проходит через вершину \(l\) и разделяет основание \(ln\) на две равные части.
Так как угол \(acb = 120^\circ\) и основание \(ln = \frac{1}{2} \cdot ab\), то высота \(lh\) будет:

\[
lh = \frac{1}{2} \cdot \frac{ab}{\sqrt{3}}
= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(2 \cdot (\sqrt{3} \cdot kh)\right)
= \frac{3 \cdot kh}{4}
\]

5. Найдем высоту треугольной призмы.
Высота призмы, как и у других призм, равна длине перпендикуляра, проведенного от вершины основания до плоскости противоположного основания.
Так как треугольник \(ln\) равнобедренный, то высота призмы будет равна высоте треугольника \(lh\):

\[
h = lh = \frac{3 \cdot kh}{4}
\]

Таким образом, площадь основания и высота призмы равны \(S_{kln} = 5\sqrt{3} \, \text{см}^2\) и \(h = \frac{3 \cdot kh}{4}\) соответственно.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Задача 8:
Дано:
Катеты прямоугольного треугольника \(ab = 6\) см и \(bc = 8\) см.
Площадь наибольшей боковой грани призмы \(= 70\) см\(^2\).

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника \(abc\).

\[
S_{abc} = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot bc
= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8
= 24 \, \text{см}^2
\]

2. Найдем высоту прямоугольного треугольника \(abc\).

Высота треугольника \(abc\) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

\[
ac^2 = ab^2 + bc^2
\]

\[
ac^2 = 6^2 + 8^2
\]

\[
ac^2 = 36 + 64
\]

\[
ac^2 = 100
\]

\[
ac = \sqrt{100}
\]

\[
ac = 10 \, \text{см}
\]

Таким образом, высота треугольника \(abc\) равна \(ac = 10\) см.

3. Найдем высоту треугольной призмы.

Высота призмы будет равна общей высоте треугольника \(abc\), так как основание призмы совпадает с треугольником \(abc\).

Высота призмы \(h\) равна \(h = ac = 10\) см.

Итак, высота прямой треугольной призмы равна \(h = 10\) см.

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять материал и решать подобные задачи в будущем.