Какова площадь трапеции с основаниями, равными 17 и 13, одной из боковых сторон, равной 8√3, и углом между ней и одним

Солнечная_Радуга

45

Для решения данной задачи нам понадобится знание формулы для вычисления площади трапеции. Формула эта следующая:
\[ S = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}, \]
где \( S \) - площадь трапеции, \( a \) и \( b \) - длины оснований, \( h \) - высота трапеции.

Для начала вычислим высоту трапеции. Известно, что угол между одной из боковых сторон и одним из оснований равен 120 градусам. Поскольку у трапеции ровно две боковые стороны, то данный угол располагается посередине между двумя углами трапеции, образованными прилегающими основаниями и боковыми сторонами. Таким образом, каждый из этих углов равен \( \dfrac{180 - 120}{2} = 30 \) градусам.

Теперь мы можем применить тригонометрическую формулу, чтобы найти высоту трапеции. Используя теорему косинусов для треугольника с углом 30 градусов и сторонами 8√3, 13 и \( h \), получим:
\[ (8\sqrt{3})^2 = 13^2 + h^2 - 2 \cdot 13 \cdot h \cdot \cos(30^\circ). \]

Выполняя вычисления, получаем:
\[ 192 = 169 + h^2 - 26h \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

Упрощаем выражение:
\[ h^2 - 13h\sqrt{3} - 23 = 0. \]

Это уравнение имеет квадратный корень \( \dfrac{13\sqrt{3} \pm \sqrt{(13\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot -23}}{2} \). Применяя формулу дискриминанта, получаем:
\[ h = \dfrac{13\sqrt{3} \pm \sqrt{663}}{2}. \]

Как мы видим, у нас два корня, но для нашей задачи физический смысл имеет только положительный корень, потому что площадь не может быть отрицательной. Поэтому:
\[ h = \dfrac{13\sqrt{3} + \sqrt{663}}{2}. \]

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, подставив все известные значения в формулу:
\[ S = \dfrac{(17 + 13) \cdot \dfrac{13\sqrt{3} + \sqrt{663}}{2}}{2}. \]

Выполняя вычисления, получаем:
\[ S = \dfrac{30(13\sqrt{3} + \sqrt{663})}{4} = 15(13\sqrt{3} + \sqrt{663}). \]

Итак, площадь данной трапеции равна \( 15(13\sqrt{3} + \sqrt{663}) \) квадратных единиц.