Какова площадь трапеции с основаниями равными 9 см и 15 см, если углы при большем основании составляют 30

Ласточка

53

Чтобы найти площадь трапеции, мы можем использовать формулу \(S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(h\) - высота трапеции. В данной задаче, основания трапеции равны 9 см и 15 см, соответственно. Однако, для использования данной формулы, нам также необходимо найти высоту трапеции. Начнем с нахождения высоты.

У нас есть информация о двух углах трапеции: 30 и 60 градусов. Известно, что углы при одной и той же основании суммируются до 180 градусов. Таким образом, угол при меньшем основании равен 180 - 30 = 150 градусов. Теперь у нас есть два треугольника: один со сторонами 9 см, 15 см и углом 150 градусов, и другой со сторонами 9 см, 15 см и углом 60 градусов. Поскольку треугольник с углом 150 градусов имеет стороны, соответствующие основаниям трапеции, мы можем использовать его для нахождения высоты трапеции.

Для нахождения высоты треугольника, мы можем использовать формулу \(h = a \cdot \sin(\theta)\), где \(a\) - одно из оснований треугольника, а \(\theta\) - угол между основанием и высотой. В нашем случае, мы используем основание 9 см и угол 150 градусов:

\[h = 9 \cdot \sin(150^\circ)\]

Теперь давайте рассчитаем значение выражения:

\[h = 9 \cdot \sin(150^\circ)\]

\[h = 9 \cdot \sin(\frac{5\pi}{6})\]

Используя таблицу значений для синуса, мы можем найти, что \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}\). Подставим это значение в уравнение:

\[h = 9 \cdot \frac{1}{2}\]

\[h = 4.5\]

Таким образом, высота трапеции равна 4.5 см. Теперь, когда у нас есть значения для оснований и высоты трапеции, мы можем использовать формулу для нахождения площади:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]
\[S = \frac{{(9 + 15) \cdot 4.5}}{2}\]
\[S = \frac{{24 \cdot 4.5}}{2}\]
\[S = \frac{{108}}{2}\]
\[S = 54\]

Таким образом, площадь трапеции равна 54 квадратных сантиметров.