Какова площадь треугольника ABC, если известны его стороны и медиана?

Ser

61

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Предположим, что в треугольнике ABC сторона AB соответствует стороне с длиной \(a\), сторона BC - длиной \(b\) и сторона CA - длиной \(c\). Известно, что медиана треугольника AD делит сторону BC пополам и равна длине \(m\).

Для начала, посмотрим на определение медианы треугольника. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В данном случае, точка D является серединой стороны BC.

Теперь приступим к решению. Для вычисления площади треугольника ABC, используем формулу Герона, которая основана на длинах сторон треугольника. Формула Герона имеет вид:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляемый как:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Теперь возвращаемся к задаче. Поскольку медиана AD делит сторону BC пополам, мы знаем, что длина отрезка BD равна \( \frac{b}{2} \), а длина отрезка CD также равна \( \frac{b}{2} \).

Теперь выразим сторону BC через \(a\) и \(c\), используя медиану:

\[ b = 2m \]

Когда мы знаем все длины сторон треугольника, мы можем вычислить полупериметр \(p\):

\[ p = \frac{a + 2m + c}{2} \]

Теперь, положив значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(m\) в формулу Герона, мы можем легко вычислить площадь треугольника:

\[ S = \sqrt{ \frac{a + 2m + c}{2} \cdot \left(\frac{a + 2m + c}{2} - a\right) \cdot \left(\frac{a + 2m + c}{2} - 2m\right) \cdot \left(\frac{a + 2m + c}{2} - c\right)} \]

Это и есть окончательный ответ. Просто подставьте значения длин сторон и медианы в эту формулу, и вы получите площадь треугольника ABC.