Какова площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(-2;-1), B(3;11) и C(8;-1)? Sabc

Ястреб_7727

62

Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам понадобится использовать формулу площади треугольника. Эта формула гласит, что площадь треугольника равна половине произведения длины одной его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

В данной задаче у нас даны координаты вершин треугольника, поэтому мы можем использовать координатную геометрию для решения задачи.

Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника.

Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Применяя эту формулу для каждой стороны треугольника, получаем:

AB:
\[d_{AB} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (11 - (-1))^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{5^2 + 12^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{25 + 144}\]
\[d_{AB} = \sqrt{169}\]
\[d_{AB} = 13\]

BC:
\[d_{BC} = \sqrt{(8 - 3)^2 + (-1 - 11)^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{5^2 + (-12)^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{25 + 144}\]
\[d_{BC} = \sqrt{169}\]
\[d_{BC} = 13\]

AC:
\[d_{AC} = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{10^2 + 0^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{100}\]
\[d_{AC} = 10\]

Шаг 2: Найдем высоту треугольника, опущенную на одну из сторон.

Чтобы найти высоту, мы можем использовать формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - длина одной из сторон, \(h\) - высота треугольника, опущенная на эту сторону.

Выберем, например, сторону AB и найдем ее высоту.

\[S_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_{AB}\]
\[30 = 13 \cdot h_{AB}\]
\[h_{AB} = \frac{30}{13}\]

Шаг 3: Вычислим площадь треугольника.

Теперь, когда у нас есть длина стороны AB и высота, опущенная на нее, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB}\]
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \frac{30}{13}\]
\[S_{ABC} = 15\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 15 квадратным единицам.