Какова площадь треугольника, если стороны, прилегающие к прямому углу, относятся как 2:5, а их разность составляет

Солнечный_Феникс_8140

67

Чтобы рассчитать площадь треугольника, нам понадобится базовая формула: \(S = \frac{1}{2} \times a \times b\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - одна из сторон треугольника, прилегающих к прямому углу, а \(b\) - другая сторона.

В данной задаче нам известно, что стороны треугольника, прилегающие к прямому углу, относятся как 2:5. Мы можем представить эти стороны как \(2x\) и \(5x\), где \(x\) - некоторый коэффициент. Также известно, что их разность составляет \(-\frac{1}{5}\). Мы можем это записать в виде уравнения: \(5x - 2x = -\frac{1}{5}\).

Теперь решим это уравнение:

\(5x - 2x = -\frac{1}{5}\) \\
\(3x = -\frac{1}{5}\) \\
\(x = -\frac{1}{5} \div 3\) \\
\(x = -\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}\) \\
\(x = -\frac{1}{15}\)

Таким образом, мы нашли значение \(x\), которое равно \(-\frac{1}{15}\). Теперь мы можем найти стороны треугольника, прилегающие к прямому углу:

\(a = 2x = 2 \times (-\frac{1}{15})\) \\
\(a = -\frac{2}{15}\)

\(b = 5x = 5 \times (-\frac{1}{15})\) \\
\(b = -\frac{5}{15}\)

Заметим, что стороны не могут иметь отрицательные значения в данной задаче, поэтому мы можем взять абсолютные значения сторон:

\(a = \frac{2}{15}\) \\
\(b = \frac{5}{15}\)

Теперь, когда у нас есть значения сторон треугольника, мы можем рассчитать его площадь, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \times a \times b\):

\(S = \frac{1}{2} \times \frac{2}{15} \times \frac{5}{15}\)

Вынесем общий знаменатель за скобки и произведем умножение числителей:

\(S = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 5}{15 \times 15}\)

После упрощения получим:

\(S = \frac{1}{2} \times \frac{10}{225}\)

Далее, упростим дробь в числителе и знаменателе:

\(S = \frac{1 \times 10}{2 \times 225}\) \\
\(S = \frac{10}{450}\)

И, наконец, приведем дробь к наименьшему упрощенному виду:

\(S = \frac{1}{45}\)

Таким образом, площадь данного треугольника равна \(\frac{1}{45}\) квадратных единиц.