Какова площадь треугольника MNK, если угол M равен 45°, MQ равно 7 мм, и NQ является высотой?

Искрящийся_Парень

49

Чтобы найти площадь треугольника MNK, мы можем использовать формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(S\) - площадь, \(a\) - основание треугольника, \(h\) - высота треугольника.

В данном случае, основанием треугольника MNK является сторона NK, а высотой является отрезок NQ. У нас уже известно, что MQ = 7 мм, а угол M равен 45°.

Для решения задачи, нам необходимо найти длину стороны NK и высоту NQ.

Давайте начнем с вычисления стороны NK. Так как у нас известно значение MQ, а угол M равен 45°, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти длину стороны MK. Формула, которую мы используем, выглядит следующим образом: \(MQ = MK \cdot \sin(M)\). Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[7 = MK \cdot \sin(45°)\]
Чтобы найти MK, делим обе части уравнения на \(\sin(45°)\):
\[MK = \frac{7}{\sin(45°)}\]

Теперь, когда у нас есть длина стороны MK, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны NK. Формула выглядит следующим образом: \(NK = \sqrt{MK^2 - MQ^2}\). Подставляя значения, получаем:
\[NK = \sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2}\]

Теперь мы можем перейти к вычислению высоты NQ. У нас уже есть основание NK и сторона MQ. Для вычисления высоты NQ, мы можем использовать формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - основание треугольника и \(h\) - высота треугольника. В данном случае, мы знаем, что площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot NK \cdot NQ\), а сторона NK равна результату, который мы только что вычислили. Подставляя значения, получаем:
\[\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2} \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot NQ\]

Чтобы найти высоту NQ, нам нужно решить это уравнение. Для этого домножим обе части уравнения на 2 и разделим обе части на \(\sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2}\):
\[NQ = \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2}}{\sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2}}\]

Итак, теперь у нас есть длина стороны NK и высота NQ. Мы можем найти площадь треугольника MNK, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot NQ\). Подставляя значения, получаем:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2}}{\sqrt{\left(\frac{7}{\sin(45°)}\right)^2 - 7^2}}\]

Выполняя все необходимые вычисления, мы получаем площадь треугольника MNK.