Каково доказательство того, что точки А(2, 1, 0), В(0, 4, -3), С(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) являются вершинами трапеции?

Шустрик

30

Чтобы доказать, что точки А(2, 1, 0), В(0, 4, -3), С(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) являются вершинами трапеции, нам необходимо выполнить два условия. Во-первых, пары противоположных сторон должны быть параллельны. Во-вторых, одна из боковых сторон должна быть параллельна и равна основанию.

Давайте проведем несколько вычислений, чтобы проверить эти условия:

1. Вычислим векторы AB, BC, CD и DA, соединяющие эти точки:
\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 1-4 \\ 0-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0-(-2) \\ 4-3 \\ -3-(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
\[ \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -2-2 \\ 3-(-3) \\ -5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} \]
\[ \overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ -3-1 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \]

2. Проверим, являются ли векторы AB и CD параллельными. Для этого посчитаем их отношение:
\[ \frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}} = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

Мы видим, что компоненты этого отношения равны друг другу, что означает, что векторы AB и CD параллельны.

3. Проверим, являются ли векторы BC и DA параллельными. Для этого посчитаем их отношение:
\[ \frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{DA}} = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \text{неопределено} \\ -\frac{1}{4} \\ 2 \end{pmatrix} \]

Мы видим, что компоненты этого отношения не равны друг другу, значит, векторы BC и DA не параллельны.

Итак, мы можем сделать вывод, что точки А(2, 1, 0), В(0, 4, -3), С(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) не образуют трапецию, так как пары противоположных сторон не параллельны.

Относительно длины оснований трапеции, мы можем вычислить длины сторон AB, BC, CD и DA с помощью формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Длина стороны AB:
\[ AB = \sqrt{(2-0)^2 + (1-4)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22} \]

Длина стороны BC:
\[ BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (4-3)^2 + (-3-(-5))^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Длина стороны CD:
\[ CD = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-(-3))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{16 + 36 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22} \]

Длина стороны DA:
\[ DA = \sqrt{(2-2)^2 + (-3-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0 + 16 + 1} = \sqrt{17} \]

Итак, длины оснований трапеции составляют AB = sqrt(22) (в квадратных корнях), BC = 3, CD = 2sqrt(22) (в квадратных корнях) и DA = sqrt(17) (в квадратных корнях).