Какова полная поверхность треугольной пирамиды, у которой основание имеет стороны длиной 6 см, 10 см и 14

Skvoz_Les

52

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для нахождения полной поверхности треугольной пирамиды. Полная поверхность треугольной пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней.

1. Начнем с нахождения площади основания треугольной пирамиды. У нас дано, что стороны основания равны 6 см, 10 см и 14 см. Так как основание треугольника, то мы можем применить формулу Герона для нахождения площади треугольника по его сторонам.

Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника (сумма сторон, деленная на 2).

Вычислим полупериметр:

\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
\[p = \frac{{6 + 10 + 14}}{2}\]
\[p = \frac{30}{2}\]
\[p = 15\]

Теперь мы можем вычислить площадь основания:

\[S_{\text{основания}} = \sqrt{15(15 - 6)(15 - 10)(15 - 14)}\]

\[S_{\text{основания}} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1}\]

\[S_{\text{основания}} = \sqrt{675}\]

\[S_{\text{основания}} \approx 26.01 \, \text{см}^2\]

2. Перейдем к вычислению площади боковых граней треугольной пирамиды, которые образуют угол 60° с плоскостью основания. Для решения этого задания мы будем использовать формулу для площади треугольника.

Формула для площади треугольника выглядит следующим образом:

\[S_{\text{боковой}} = \frac{{1}{2}} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]

где \(S_{\text{боковой}}\) - площадь боковой грани треугольной пирамиды, \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, \(\gamma\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Мы знаем, что стороны боковых граней имеют длины 6 см, 10 см и 14 см, а угол между ними составляет 60°. Таким образом,

\[S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin(60°)\]

\[S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S_{\text{боковой}} = 3 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S_{\text{боковой}} = 15 \sqrt{3}\]

Так как у треугольной пирамиды 4 боковые грани, тогда площадь всех боковых граней:

\[S_{\text{боковых граней}} = 4 \cdot S_{\text{боковой}}\]

\[S_{\text{боковых граней}} = 4 \cdot 15 \sqrt{3}\]

\[S_{\text{боковых граней}} = 60 \sqrt{3}\]

3. Наконец, чтобы найти полную поверхность треугольной пирамиды, мы складываем площадь основания и площадь боковых граней:

\[S_{\text{полная поверхность}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}}\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 26.01 + 60 \sqrt{3}\]

\[S_{\text{полная поверхность}} \approx 134.01 + 103.92 \approx 237.93 \, \text{см}^2\]

Таким образом, полная поверхность треугольной пирамиды составляет примерно 237.93 см². В этом ответе учтены все промежуточные шаги, а также обосновано каждое решение.