Какой угол имеет наибольшую меру в треугольнике ABC с длинами сторон AB = 4√7, BC = 5√3 и известным углом C = 58°?

Синица

30

Чтобы определить, какой угол имеет наибольшую меру в треугольнике ABC с заданными сторонами и известным углом, нам необходимо использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - сторона противолежащая углу \(C\), а \(a\) и \(b\) - остальные две стороны треугольника.

Для данного треугольника, угол \(C\) равен 58°, длины сторон \(AB\) и \(BC\) равны \(4\sqrt{7}\) и \(5\sqrt{3}\) соответственно.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины стороны \(AC\):

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(C)}\]

\[AC = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (4\sqrt{7}) \cdot (5\sqrt{3}) \cdot \cos(58°)}\]

\[AC = \sqrt{112 + 75 - 40\sqrt{21} \cdot \sqrt{15} \cdot \cos(58°)}\]

\[AC = \sqrt{187 - 600 \cdot \sqrt{105} \cdot \cos(58°)}\]

Теперь, применяя теорему косинусов к другим двум углам треугольника, мы можем найти углы \(A\) и \(B\) по формулам:

\[\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \quad \text{и} \quad \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

Подставим полученные значения в формулы:

\[\cos(A) = \frac{(5\sqrt{3})^2 + AC^2 - (4\sqrt{7})^2}{2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot AC}\]

\[\cos(B) = \frac{AB^2 + (5\sqrt{3})^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot (5\sqrt{3})}\]

После нахождения значений \(\cos(A)\) и \(\cos(B)\), мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти углы \(A\) и \(B\).

Теперь, с помощью полученных значений углов \(A\), \(B\) и \(C\), мы можем определить, какой из них имеет наибольшую меру. Больший угол будет тем, у которого значение косинуса меньше (так как косинус углов на треугольнике убывает с ростом значения угла).