Какова проекция другого катета на гипотенузу и высота, опущенная на гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Anzhela

48

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит следующее: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 20 см, а один из катетов (назовем его a) равен Х см. С помощью теоремы Пифагора мы можем выразить длину другого катета (назовем его b) следующим образом:

\[a^2 + b^2 = c^2,\]

где c - длина гипотенузы.

Подставив известные значения, получим:

\[X^2 + b^2 = 20^2.\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти длину другого катета b. Рассмотрим пошаговое решение:

\[X^2 + b^2 = 20^2.\]
\[b^2 = 20^2 - X^2.\]
\[b = \sqrt{20^2 - X^2}.\]

Итак, проекция другого катета на гипотенузу будет равна длине катета b:

\[b = \sqrt{20^2 - X^2}.\]

Теперь давайте перейдем к нахождению высоты, опущенной на гипотенузу.

Высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два подобных треугольника. Соотношение между высотой h, гипотенузой c и проекцией (длиной катета) b равно:

\[\frac{h}{b} = \frac{b}{c}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{h}{\sqrt{20^2 - X^2}} = \frac{\sqrt{20^2 - X^2}}{20}.\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти высоту h. Рассмотрим пошаговое решение:

\[\frac{h}{\sqrt{20^2 - X^2}} = \frac{\sqrt{20^2 - X^2}}{20}.\]
\[h \cdot 20 = \sqrt{20^2 - X^2} \cdot \sqrt{20^2 - X^2}.\]
\[h \cdot 20 = 20^2 - X^2.\]
\[h = \frac{20^2 - X^2}{20}.\]

Итак, высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

\[h = \frac{20^2 - X^2}{20}.\]

Таким образом, проекция другого катета на гипотенузу будет равна \(\sqrt{20^2 - X^2}\), а высота, опущенная на гипотенузу, будет равна \(\frac{20^2 - X^2}{20}\).