Какова производная функции z = 2x^2 + y^3 в точке М(1; -2) вдоль направления заданного вектором а = {3; -4}?

Ябеда

7

Для нахождения производной функции \(z = 2x^2 + y^3\) в точке \(M(1; -2)\) вдоль направления, заданного вектором \(\textbf{a} = \{3; -4\}\), следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем частные производные функции \(z = 2x^2 + y^3\) по переменным \(x\) и \(y\):

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 4x
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2
\]

2. Затем найдем градиент функции \(\nabla z\) как вектор, состоящий из частных производных:

\[
\nabla z = \left\{ \frac{\partial z}{\partial x}; \frac{\partial z}{\partial y} \right\} = \left\{ 4x; 3y^2 \right\}
\]

3. Подставим координаты точки \(M(1; -2)\) в градиент функции \(\nabla z\):

\[
\nabla z\Big|_{(1;-2)} = \left\{ 4 \cdot 1; 3 \cdot (-2)^2 \right\} = \left\{ 4; 12 \right\}
\]

4. Найдем нормированный вектор направления:

\[
\textbf{u} = \frac{\textbf{a}}{\|\textbf{a}\|} = \frac{\{3; -4\}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\{3; -4\}}{5} = \left\{ \frac{3}{5}; \frac{-4}{5} \right\}
\]

5. Найдем производную функции по направлению вектора \(\textbf{a}\) как скалярное произведение градиента \(\nabla z\) и единичного вектора \(\textbf{u}\):

\[
\frac{dz}{d\textbf{a}} = \nabla z \cdot \textbf{u} = \left\{4; 12\right\} \cdot \left\{\frac{3}{5}; \frac{-4}{5}\right\} = 4 \cdot \frac{3}{5} + 12 \cdot \frac{-4}{5} = \frac{12 - 48}{5} = \frac{-36}{5}
\]

Таким образом, производная функции \(z = 2x^2 + y^3\) в точке \(M(1; -2)\) вдоль направления, заданного вектором \(\textbf{a} = \{3; -4\}\), равна \(-\frac{36}{5}\).