При каком значении параметра k векторы a=i+j+2k и b=k×i-j+4k будут взаимно перпендикулярны?

Yagnenka

11

Чтобы найти значение параметра k, при котором векторы a и b будут взаимно перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов - их скалярным произведением. Два вектора перпендикулярны, если и только если их скалярное произведение равно нулю.

Давайте найдем скалярное произведение векторов a и b:

\[a \cdot b = (i+j+2k) \cdot (k \cdot i - j + 4k)\]

Раскроем скобки:

\[a \cdot b = (k+1) \cdot i \cdot i + (k-1) \cdot j \cdot i + (2k+4k) \cdot k \cdot i - (k+1) \cdot i \cdot j - (k-1) \cdot j \cdot j - (2k+4k) \cdot k \cdot j\]

Учитывая, что векторы i и j являются ортогональными и имеют скалярное произведение равное нулю \(i \cdot j = 0\), а также \(i \cdot i = 1\) и \(j \cdot j = 1\), упростим полученное выражение:

\[a \cdot b = k+1 - (k-1) - (2k+4k) = k+1 - k+1 - 6k = -6k\]

Теперь у нас есть скалярное произведение a и b в зависимости от параметра k: \(a \cdot b = -6k\).

Для того, чтобы векторы a и b были взаимно перпендикулярны, скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[-6k = 0\]

Решим это уравнение:

\[k = 0\]

Таким образом, при \(k = 0\) векторы a=i+j+2k и b=k×i-j+4k будут взаимно перпендикулярны.