Какова работа, совершенная против сил сопротивления, падающим вниз вертикально телом массой 3 кг, не имеющим начальной

Плюшка

58

Для решения данной задачи о работе, совершенной против силы сопротивления, нам потребуется знать несколько основных физических понятий.

Первое из них - работа. Работа \( W \) определяется как произведение силы, действующей на тело, на расстояние, на которое это тело перемещается по направлению этой силы. Работа выражается в джоулях (Дж).

Второе понятие, которое понадобится, - силы сопротивления. Силы сопротивления возникают при движении тела в среде (например, воздухе или воде) и направлены против движения тела. Силы сопротивления обычно обозначаются \( F_{\text{сопр}} \) и измеряются в ньютонах (Н).

Третье понятие, которое нам понадобится, - масса тела. Масса тела - это мера инертности тела, его сопротивление изменению движения. В данной задаче у нас есть тело массой 3 кг.

Теперь перейдем к самому решению задачи.

По условию задачи, тело падает вниз вертикально без начальной скорости. Это означает, что на тело действуют только две силы - сила тяжести \( F_{\text{тяж}} \) и сила сопротивления \( F_{\text{сопр}} \).

Сила тяжести определяется законом всемирного тяготения и равна произведению массы тела на ускорение свободного падения \( g \) (округлим \( g \) до 9.8 м/с²):

\[ F_{\text{тяж}} = m \cdot g = 3 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} = 29.4 \, \text{Н} \]

Сила сопротивления направлена противоположно силе тяжести и зависит от скорости падения тела. Формула для силы сопротивления имеет вид:

\[ F_{\text{сопр}} = -k \cdot v \]

Здесь \( k \) - коэффициент сопротивления (зависит от формы и размеров тела), \( v \) - скорость падения тела.

В данной задаче считаем, что коэффициент сопротивления \( k \) известен и равен 0.5.

Известно также, что тело не имеет начальной скорости. Это значит, что в начальный момент времени его скорость равна 0.

Рассмотрим движение тела на очень малом интервале времени \( dt \). За это время тело приобретает малую скорость \( dv \). Тогда изменение работы \( dW \) на данном интервале времени равно:

\[ dW = F_{\text{сопр}} \cdot ds \]

где \( ds \) - малый путь, по которому тело переместилось.

Найдем знак скалярного произведения силы сопротивления и перемещения:

\[ \vec{F}_{\text{сопр}} \cdot \vec{ds} = |\vec{F}_{\text{сопр}}| \cdot |\vec{ds}| \cdot \cos{\alpha} \]

где \( \alpha \) - угол между векторами.

В нашем случае сила сопротивления направлена вверх, а перемещение вниз, поэтому накладывается отрицательный знак:

\[ \vec{F}_{\text{сопр}} \cdot \vec{ds} = -|\vec{F}_{\text{сопр}}| \cdot |\vec{ds}| \cdot \cos{\alpha} \]

Угол \( \alpha \) между силой сопротивления и пути равен 180 градусов, поэтому:

\[ \cos{180^\circ} = -1 \]

Теперь можем выразить \( dW \):

\[ dW = -F_{\text{сопр}} \cdot ds \]

Так как сила сопротивления направлена противоположно перемещению, то \( ds \) будет равно величине перемещения на данном интервале времени \( dt \), и мы можем записать:

\[ ds = -v \cdot dt \]

Тогда:

\[ dW = -F_{\text{сопр}} \cdot ds = -F_{\text{сопр}} \cdot (-v \cdot dt) = F_{\text{сопр}} \cdot v \cdot dt \]

Известно, что работа \( W \) равна интегралу от \( dW \) по всему пути, по которому перемещается тело. В нашем случае путь равен высоте падения \( h \).

\[ W = \int_{0}^{h} F_{\text{сопр}} \cdot v \cdot dt \]

Сила сопротивления выражается через скорость:

\[ F_{\text{сопр}} = -k \cdot v \]

Подставим в интеграл:

\[ W = \int_{0}^{h} (-k \cdot v) \cdot v \cdot dt = -k \cdot \int_{0}^{h} v^2 \cdot dt \]

Так как мы знаем, что начальная скорость равна 0 и конечная скорость равна \( v \), то путь \( h \) можно выразить через скорость:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]

или

\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Подставим в интеграл:

\[ W = -k \cdot \int_{0}^{\sqrt{\frac{2h}{g}}} v^2 \cdot dt = -k \cdot \int_{0}^{\sqrt{\frac{2h}{g}}} v^2 \cdot (2 \cdot g \cdot t) \cdot dt \]

\[ W = -2 \cdot k \cdot g \cdot \int_{0}^{\sqrt{\frac{2h}{g}}} v^2 \cdot t \cdot dt \]

Перейдем к переменным:

\[ u = v^2 \]
\[ du = 2 \cdot v \cdot dv \]

\[ t \cdot dt = \frac{dt}{dt} \cdot t \cdot dt = \frac{dt}{2 \cdot g \cdot t} \cdot t \cdot dt = \frac{1}{2 \cdot g} \cdot dt \]

\[ W = -2 \cdot k \cdot g \cdot \int_{0}^{\sqrt{\frac{2h}{g}}} u \cdot \frac{1}{2 \cdot g} \cdot du \]

Упростим:

\[ W = -\frac{k}{g} \cdot \int_{0}^{\sqrt{\frac{2h}{g}}} u \cdot du \]

Возьмем интеграл:

\[ W = -\frac{k}{g} \cdot \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{\frac{2h}{g}}} \]

\[ W = -\frac{k}{g} \cdot \left[ \frac{\left( \sqrt{\frac{2h}{g}} \right)^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^2}{2} \right] \]

\[ W = -\frac{k}{g} \cdot \left[ \frac{\frac{2h}{g}}{2} \right] - 0 \]

\[ W = -\frac{k}{g} \cdot \frac{h}{g} \]

\[ W = -\frac{k \cdot h}{g^2} \]

\[ W = -\frac{0.5 \cdot h}{(9.8)^2} \]

Выразим ответ численно:

\[ W = -\frac{0.5 \cdot h}{(9.8)^2} = -\frac{0.5 \cdot h}{96.04} \]

Таким образом, ответ на задачу составляет:

\[ W = -\frac{0.5 \cdot h}{96.04} \, \text{Дж} \]

Пожалуйста, обратите внимание, что ответ представлен с отрицательным знаком, поскольку работа, совершаемая против силы сопротивления, является отрицательной, так как сила сопротивления направлена против движения тела.