Какова работа, выполненная постоянной силой f = 3i + 4j при перемещении небольшого тела из точки с радиус-вектором

Тимка

68

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо вычислить работу, выполненную постоянной силой при перемещении тела из одной точки в другую.

Работа \(W\) может быть вычислена по формуле:
\[W = \vec{F} \cdot \vec{d}\]
где \(\vec{F}\) - сила, \(\vec{d}\) - перемещение тела.

В данном случае, дано, что сила \(\vec{F} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\). Также, даны начальная точка с радиус-вектором \(\vec{r_1} = -\vec{i} + 7\vec{j}\) и конечная точка с радиус-вектором \(\vec{r_2} = 3\vec{i}\).

Теперь давайте вычислим разность радиус-векторов:
\(\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (3\vec{i}) - (-\vec{i} + 7\vec{j})\)
\(\vec{d} = 3\vec{i} + \vec{i} - 7\vec{j} = 4\vec{i} - 7\vec{j}\)

Теперь мы можем вычислить работу по формуле:
\(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3\vec{i} + 4\vec{j}) \cdot (4\vec{i} - 7\vec{j})\)

Для удобства вычислений, мы можем разложить скалярное произведение на произведение модулей векторов и косинуса угла между ними:
\(W = |\vec{F}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos{\theta}\)
где \(|\vec{F}|\) и \(|\vec{d}|\) - модули векторов, а \(\theta\) - угол между ними.

Вычислим модули векторов:
\( |\vec{F}| = \sqrt{(3^2 + 4^2)} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\( |\vec{d}| = \sqrt{(4^2 + (-7)^2)} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\)

Теперь нам нужно найти угол \(\theta\) между векторами \(\vec{F}\) и \(\vec{d}\).
Мы можем использовать формулу для расчета косинуса угла между векторами:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{|\vec{F}| \cdot |\vec{d}|}\)

Вычислим числитель скалярного произведения:
\(\vec{F} \cdot \vec{d} = (3\vec{i} + 4\vec{j}) \cdot (4\vec{i} - 7\vec{j})\)
\(\vec{F} \cdot \vec{d} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-7) = 12 - 28 = -16\)

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:
\(\cos{\theta} = \frac{-16}{5 \cdot \sqrt{65}}\)

Остается только вычислить работу:
\(W = 5 \cdot \sqrt{65} \cdot \frac{-16}{5 \cdot \sqrt{65}} = -16\)

Таким образом, работа, выполненная постоянной силой \(f = 3\vec{i} + 4\vec{j}\) при перемещении тела из точки с радиус-вектором \(r_1 = -\vec{i} + 7\vec{j}\) в точку с радиус-вектором \(r_2 = 3\vec{i}\), равна -16.