Какова разница в массе между Нептуном и Землей, если спутник Нептуна, Тритон, кружит вокруг планеты с периодом 5 дней

Артур

52

Для того чтобы рассчитать разницу в массе между Нептуном и Землей, мы будем использовать законы Кеплера, которые позволяют связать период обращения спутника вокруг планеты с расстоянием до планеты и их массами.

Сначала нам нужно перевести периоды обращения спутников в секунды. Возьмем период обращения Тритона, который составляет 5 дней 21 час. Переведем это в дни, умножая на 24 (часов в сутках) и затем в секунды, умножая на 60 (минут в часе) и на 60 (секунд в минуте):

Период обращения Тритона в секундах:
$$\text{Период}=(5\cdot 24\cdot 60\cdot 60)+(21\cdot 60\cdot 60)=498600\text{ секунд}$$

Далее рассчитаем период обращения Луны, который составляет 27,3 дня в секундах:

Период обращения Луны в секундах:
$$\text{Период}=27.3\cdot 24\cdot 60\cdot 60=2,360,320\text{ секунд}$$

Теперь у нас есть периоды обращения спутников. Следующим шагом будет использование третьего закона Кеплера для определения масс:

$$\frac{T^2}{R^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$

Где $T$ - период обращения спутника, $R$ - среднее расстояние между спутником и планетой, $G$ - гравитационная постоянная и $M$ - масса планеты.

Теперь рассчитаем массы планет, используя формулу:

$$M=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$$

Для Тритона:

$$M_{\text{Тритон}}=\frac{4{\pi }^2(354,000,000{)}^3}{G(498,600{)}^2}$$

Для Луны:

$$M_{\text{Луна}}=\frac{4{\pi }^2(384,000,000{)}^3}{G(2,360,320{)}^2}$$

Оперативные данные для рассчета такие:
Расстояние между Луной и Землей: $384,000$ км
Расстояние между Тритоном и Нептуном: $354,000$ км
Гравитационная постоянная: $G=6.67430\times {10}^{-11}$ ${м}^3\cdot к{г}^{-1}\cdot {с}^{-2}$

Теперь проведем вычисления, чтобы получить значения масс:

$$M_{\text{Тритон}}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot (354,000,000{)}^3}{6.67430\times {10}^{-11}\cdot (498,600{)}^2}=2.139\times {10}^{22}\text{ кг}$$

$$M_{\text{Луна}}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot (384,000,000{)}^3}{6.67430\times {10}^{-11}\cdot (2,360,320{)}^2}=7.349\times {10}^{22}\text{ кг}$$

Теперь мы можем рассчитать разницу в массе между Нептуном и Землей:

$$\text{Разница масс}=M_{\text{Нептун}}-M_{\text{Земля}}=M_{\text{Луна}}-M_{\text{Тритон}}=(7.349\times {10}^{22}\text{ кг})-(2.139\times {10}^{22}\text{ кг})=5.21\times {10}^{22}\text{ кг}$$

Итак, разница в массе между Нептуном и Землей составляет $5.21\times {10}^{22}$ кг.