Какова разница в потенциале между поверхностями двух параллельных проводящих цилиндров радиусом R, расположенных

Черешня_4939

36

Для расчета разницы потенциалов между двумя проводящими цилиндрами с линейной плотностью заряда, можем использовать формулу для потенциала, создаваемого проводящей линией. Рассмотрим один из цилиндров как источник потенциала, а второй цилиндр как точку, в которой мы хотим рассчитать это значение.

Потенциал \(V\) создаваемого цилиндром можно определить, используя формулу:

\[ V = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)} \]

где:
\(\lambda\) - линейная плотность заряда,
\(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная,
\(r_2\) - радиус внешнего цилиндра,
\(r_1\) - радиус внутреннего цилиндра.

Для нашей задачи, радиус внутреннего цилиндра \(r_1\) будет равен R, а радиус внешнего цилиндра \(r_2\) будет равен R + d, где d - расстояние между цилиндрами.

Теперь мы можем выразить разницу потенциалов \(\Delta V\) между поверхностями двух цилиндров, используя формулу:

\[\Delta V = V_2 - V_1\]

где \(V_1\) - потенциал цилиндра с радиусом R, а \(V_2\) - потенциал цилиндра с радиусом R + d.

Подставив значения в формулу, получим:

\[\Delta V = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln{\left(\frac{R+d}{R}\right)} - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln{\left(\frac{R}{R}\right)}\]

Упрощая выражение и учитывая, что \(\ln{\left(\frac{R}{R}\right)} = 0\), мы можем записать окончательный ответ:

\[\Delta V = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln{\left(\frac{R+d}{R}\right)}\]

Таким образом, разница потенциала между поверхностями двух параллельных проводящих цилиндров радиусом R и R + d с линейной плотностью заряда \(\lambda\) равна \(\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln{\left(\frac{R+d}{R}\right)}\).