Какова разность фаз между складываемыми колебаниями, если их амплитуды составляют 28 мм и 45 мм, а суммарная амплитуда

Izumrudnyy_Drakon

32

Чтобы определить разность фаз между складываемыми колебаниями, мы должны воспользоваться формулой для суммы двух колебаний. Пусть первое колебание имеет амплитуду \(A_1 = 28\) мм, а второе колебание - амплитуду \(A_2 = 45\) мм. Суммарная амплитуда \(A = 53\) мм.

Формула для суммы двух колебаний выглядит следующим образом:

\[A \sin (\omega t + \varphi) = A_1 \sin (\omega t) + A_2 \sin (\omega t + \phi) \]

Где \(A\) - суммарная амплитуда, \(\omega\) - угловая частота, \(t\) - время, \(\varphi\) - разность фаз между колебаниями, \(A_1\) и \(A_2\) - амплитуды первого и второго колебаний соответственно, а \(\phi\) - начальная фаза второго колебания.

Мы можем записать данную формулу для нашей задачи:

\[53 \sin (\omega t + \varphi) = 28 \sin (\omega t) + 45 \sin (\omega t + \phi) \]

Теперь давайте преобразуем это уравнение для определения разности фаз.

Сначала раскроем синус суммы фаз:

\[53 (\sin \omega t \cos \varphi + \cos \omega t \sin \varphi) = 28 \sin \omega t + 45 (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi) \]

Теперь сгруппируем слагаемые синусов и косинусов:

\[(53 \cos \varphi - 45 \cos \phi) \sin\omega t + (53 \sin \varphi - 45 \sin \phi) \cos\omega t = 28 \sin \omega t \]

Поскольку синус и косинус являются периодическими функциями, это уравнение должно выполняться для любого значения времени \(t\). Значит, коэффициенты при \(\sin \omega t\) и \(\cos \omega t\) должны быть равными:

\[(53 \cos \varphi - 45 \cos \phi) = 0 \]
\[(53 \sin \varphi - 45 \sin \phi) = 28 \]

Теперь давайте решим эту систему уравнений, чтобы найти значения \(\varphi\) и \(\phi\).

Разделим первое уравнение на второе:

\[\frac{53 \cos \varphi - 45 \cos \phi}{53 \sin \varphi - 45 \sin \phi} = \frac{0}{28} = 0 \]

Так как любое число делится на 0 равно бесконечности, это означает, что выражения в числителе и знаменателе должны быть равными нулю:

\[53 \cos \varphi - 45 \cos \phi = 0 \]
\[53 \sin \varphi - 45 \sin \phi = 0 \]

Теперь решим эту систему уравнений. Для этого нам понадобится идентичность "Тангенс суммы":

\[\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \]

В нашем случае:

\[\tan(\varphi + \phi) = \frac{53 \sin \varphi - 45 \sin \phi}{53 \cos \varphi - 45 \cos \phi} \]

Подставим значения из наших уравнений:

\[\tan(\varphi + \phi) = \frac{0}{0} = 0 \]

Теперь воспользуемся другой идентичностью - "Тангенс разности":

\[\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \]

Применим эту формулу к нашему случаю:

\[\tan(\varphi - \phi) = \frac{\tan \varphi - \tan \phi}{1 + \tan \varphi \tan \phi} \]

Поскольку \(\tan(\varphi + \phi) = 0\), то \(\varphi + \phi = n\pi\), где \(n\) - любое целое число.

Теперь мы можем рассмотреть два возможных случая:

1) Если \(\tan \varphi = \tan \phi\), то:

\[\tan(\varphi - \phi) = \frac{0}{1 + (\tan \varphi)^2} = 0\]

Это означает, что \(\varphi - \phi = m\pi\) для любого целого числа \(m\).

2) Если \(\tan \varphi = -\tan \phi\), то:

\[\tan(\varphi - \phi) = \frac{0}{1 - (\tan \varphi)^2} = 0\]

Также получаем \(\varphi - \phi = m\pi\) для любого целого числа \(m\).

Таким образом, мы можем заключить, что разность фаз между складываемыми колебаниями может быть любым целым числом умноженным на \(\pi\). Это свидетельствует о том, что разность фаз не имеет определенного значения в данной задаче.