Какова сила реакции шарнира и сила натяжения троса T, если угол наклона стержня к горизонту

Polosatik

9

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать принципы равновесия тела и гравитации.

Обозначим силу реакции шарнира как \( R \) и силу натяжения троса как \( T \).

Угол наклона стержня к горизонту не указан, поэтому будем обозначать его как \( \theta \).

Для начала, разложим силу тяжести на составляющие. Организуем горизонтальную и вертикальную составляющие силы тяжести:

Вертикальная составляющая равна \( m \cdot g \cdot \cos{\theta} \), где:
- \( m \) - масса стержня,
- \( g \) - ускорение свободного падения (примем его равным приближенно \( 9,8 \, \text{м/с}^2 \)),

Горизонтальная составляющая равна \( m \cdot g \cdot \sin{\theta} \).

Так как стержень находится в равновесии, сумма всех горизонтальных сил равна нулю:

\[ R \sin{\theta} - T - m \cdot g \cdot \sin{\theta} = 0 \]

Выразим силу реакции шарнира \( R \) через силу натяжения \( T \):

\[ R = T + m \cdot g \cdot \sin{\theta} \]

Также пора учесть вертикальное равновесие стержня:

Сумма всех вертикальных сил равна нулю:

\[ R \cos{\theta} - m \cdot g \cdot \cos{\theta} = 0 \]

Теперь, подставим выражение для силы реакции \( R \):

\[ (T + m \cdot g \cdot \sin{\theta}) \cos{\theta} - m \cdot g \cdot \cos{\theta} = 0 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ T \cos{\theta} + m \cdot g \cdot \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} - m \cdot g \cdot \cos{\theta} = 0 \]

\[ T \cos{\theta} = m \cdot g \cdot \cos{\theta} - m \cdot g \cdot \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} \]

\[ T \cos{\theta} = m \cdot g \cdot \cos{\theta} \cdot (1 - \sin{\theta}) \]

Теперь, найдем выражение для силы натяжения \( T \):

\[ T = \frac{{m \cdot g \cdot \cos{\theta} \cdot (1 - \sin{\theta})}}{{\cos{\theta}}} \]

Упростим это выражение:

\[ T = m \cdot g \cdot (1 - \sin{\theta}) \]

Таким образом, сила реакции шарнира равна \( T + m \cdot g \cdot \sin{\theta} \), а сила натяжения троса \( T = m \cdot g \cdot (1 - \sin{\theta}) \).

Эти формулы позволяют нам вычислить силы в зависимости от массы стержня и угла наклона к горизонту \( \theta \).