Какова скорость движения каждой точки, если две точки движутся по окружностям с отношением радиусов 1:6 и за 10 секунд

Mihaylovich

37

Чтобы решить данную задачу, давайте начнем с определения некоторых величин. Обозначим радиусы окружностей как \(r_1\) и \(r_2\), где \(r_2\) больше, чем \(r_1\) в 6 раз. Пусть точка, движущаяся по окружности с радиусом \(r_1\), имеет скорость \(v_1\), а точка, движущаяся по окружности с радиусом \(r_2\), имеет скорость \(v_2\).

Мы знаем, что за 10 секунд точка, движущаяся по большей окружности (\(r_2\)), проходит на 2 м больше. Таким образом, разность пути между двумя точками после 10 секунд равна 2 м. Также, мы знаем, что эта точка делает в 5 раз меньше оборотов.

Давайте найдем формулу для пути, пройденного точкой на окружности. Путь, пройденный точкой за определенное время \(t\) равен \(v \cdot t\), где \(v\) - скорость точки.

Теперь, чтобы получить ответ, мы можем применить следующие шаги:

1. Найдем количество оборотов, сделанных точкой на окружности с меньшим радиусом за 10 секунд. Для этого умножим время на частоту оборотов, которую обозначим \(f_1\), и найдем частоту оборотов как \(\frac{1}{{T_1}}\), где \(T_1\) - период оборотов. Таким образом, путь точки на окружности с меньшим радиусом можно записать как \(v_1 \cdot t_{\text{окр}_1} = 2 \pi r_1 \cdot f_1 \cdot t_{\text{окр}_1}\), где \(t_{\text{окр}_1}\) - время, за которое точка, движущаяся по окружности с меньшим радиусом, проходит 1 оборот.

2. Запишем формулу для пути, пройденного точкой на окружности с большим радиусом. Аналогично предыдущему шагу, \(v_2 \cdot t_{\text{окр}_2} = 2 \pi r_2 \cdot f_2 \cdot t_{\text{окр}_2}\), где \(f_2\) - частота оборотов точки на окружности с большим радиусом, а \(t_{\text{окр}_2}\) - время, за которое точка проходит 1 оборот.

3. Поскольку точка на окружности с меньшим радиусом делает в 5 раз больше оборотов, чем точка на окружности с большим радиусом, мы можем записать соотношение между частотами оборотов как \(f_2 = 5 \cdot f_1\).

4. Теперь мы можем написать уравнение, с помощью которого найдем значение скорости точки на окружности с радиусом \(r_2\). Используя формулу пути для точки на окружности с радиусом \(r_2\), а также равенство пути точки на окружности с радиусом \(r_1\) и \(r_2\) (2 м), получим:

\[v_2 \cdot 10 = 2 \pi r_2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{{T_1}} \cdot 10\]

5. Поскольку мы знаем, что отношение радиусов \(r_2\) и \(r_1\) равно 6, то можно записать \(r_2 = 6r_1\).

6. Подставим значение \(r_2\) в уравнение и упростим его:

\[v_2 \cdot 10 = 2 \pi \cdot 6r_1 \cdot 5 \cdot \frac{1}{{T_1}} \cdot 10\]
\[v_2 = \frac{{2 \pi \cdot 6 \cdot 5 \cdot r_1}}{{10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{{T_1}}}}\]

7. Упростим выражение дальше:

\[v_2 = \frac{{2 \pi \cdot 6 \cdot 5 \cdot r_1 \cdot T_1}}{{100}}\]

Таким образом, скорость точки на окружности с радиусом \(r_2\) равна \(\frac{{2 \pi \cdot 6 \cdot 5 \cdot r_1 \cdot T_1}}{{100}}\). Для полного ответа, необходимо указать значение \(r_1\) и \(T_1\). Если вы предоставите эти значения, я смогу помочь вам с более конкретным ответом.