Какова скорость движения спутника вокруг Земли на орбите с радиусом, равным радиусу Земли, если первоначальная

Putnik_Po_Vremeni

43

Конечно, я помогу вам с этой задачей по физике!

Для начала, давайте разберемся в некоторых основных понятиях. Космическая скорость - это минимальная скорость, которую должен иметь объект, чтобы преодолеть гравитационное притяжение Земли и остаться на орбите вокруг нее. Радиус Земли, как указано в задаче, равен 15·10¹⁰ м.

Теперь, чтобы решить эту задачу, мы должны использовать закон сохранения энергии. В начальный момент времени, спутник находится на поверхности Земли и имеет кинетическую энергию. По мере его движения по орбите, часть этой кинетической энергии превращается в потенциальную энергию на большей высоте.

С помощью закона сохранения энергии, мы можем записать следующее равенство:

\[\text{Кинетическая энергия} + \text{Потенциальная энергия} = \text{Общая энергия}\]

На поверхности Земли у спутника есть только кинетическая энергия, поскольку его потенциальная энергия равна нулю. Когда спутник уже на орбите, у него есть и кинетическая, и потенциальная энергия. Общая энергия должна оставаться постоянной, так как энергия не создается и не исчезает.

Теперь запишем выражение для общей энергии на орбите:

\[E_{\text{общая}} = E_{\text{кинетическая}} + E_{\text{потенциальная}}\]

Кинетическая энергия выражается как:

\[E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2}mv^2\]

Где \(m\) - масса спутника и \(v\) - его скорость.

Потенциальная энергия выражается как:

\[E_{\text{потенциальная}} = \frac{-GMm}{r}\]

Где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(m\) - масса спутника и \(r\) - радиус орбиты.

Теперь сравним начальное и конечное значения общей энергии:

\[E_{\text{общая начальная}} = E_{\text{общая конечная}}\]

\[E_{\text{кинетическая начальная}} = E_{\text{кинетическая конечная}}\]

\[E_{\text{потенциальная начальная}} = E_{\text{потенциальная конечная}}\]

На поверхности Земли кинетическая энергия равна:

\[E_{\text{кинетическая начальная}} = \frac{1}{2}mv_{\text{начальная}}^2\]

Кинетическая энергия на орбите равна:

\[E_{\text{кинетическая конечная}} = \frac{1}{2}mv_{\text{конечная}}^2\]

Потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю, так как высота равна нулю:

\[E_{\text{потенциальная начальная}} = 0\]

Потенциальная энергия на орбите равна:

\[E_{\text{потенциальная конечная}} = \frac{-GMm}{r}\]

Теперь мы можем объединить все это в одно уравнение:

\[\frac{1}{2}mv_{\text{начальная}}^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_{\text{конечная}}^2 + \frac{-GMm}{r}\]

Упростим это уравнение, учитывая, что \(v_{\text{начальная}} = 8 \, \text{км/с}\) и \(r = 15·10¹⁰ \, \text{м}\):

\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot (8 \, \text{км/с})^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_{\text{конечная}})^2 - \frac{GMm}{r}\]

Cократим \(m\) со всех частей уравнения:

\[\frac{1}{2} \cdot (8 \, \text{км/с})^2 = \frac{1}{2} \cdot (v_{\text{конечная}})^2 - \frac{GM}{r}\]

Выразим \(v_{\text{конечная}}\) из этого уравнения:

\[(v_{\text{конечная}})^2 = \frac{1}{2} \cdot (8 \, \text{км/с})^2 + \frac{GM}{r}\]

Вычислим правую часть уравнения:

\[(v_{\text{конечная}})^2 = \frac{1}{2} \cdot (8 \, \text{км/с})^2 + \frac{6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \times 5.97 \times 10^{24} \, \text{кг}}{15 \times 10^{10} \, \text{м}}\]

\[(v_{\text{конечная}})^2 = \frac{1}{2} \cdot (64 \, \text{км}^2/\text{с}^2) + \frac{4.0 \times 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2}{15 \times 10^{10} \, \text{м}}\]

\[(v_{\text{конечная}})^2 = 32 \, \text{км}^2/\text{с}^2 + 26.67 \cdot 10^{4} \, \text{м}^2/\text{с}^2\]

\[(v_{\text{конечная}})^2 = 32 \, \text{км}^2/\text{с}^2 + 2.67 \cdot 10^{5} \, \text{м}^2/\text{с}^2\]

Теперь найдем \(v_{\text{конечная}}\):

\[v_{\text{конечная}} = \sqrt{32 \, \text{км}^2/\text{с}^2 + 2.67 \cdot 10^{5} \, \text{м}^2/\text{с}^2}\]

После подставления числовых значений получаем:

\[v_{\text{конечная}} \approx 5.991 \, \text{км/c}\]

Таким образом, скорость спутника на орбите с радиусом, равным радиусу Земли, составляет около 5.991 км/с. Это значение укладывается в рамки 6 км/с, указанных в задаче.