Какова скорость и ускорение материальной точки в момент времени t1 = 2 секунды, если закон изменения ее координат задан

Elena_9161

13

Хорошо! Давайте решим данную задачу поэтапно.

1. Найдем скорость материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды.
Для этого нам понадобится первая производная функции \( y(t) \) по времени \( t \). Возьмем производную от уравнения \( y(t) = At^2 - Ct^4 \):
\[ y"(t) = 2At - 4Ct^3 \]

Для нахождения скорости в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды, подставим \( t = 2 \) в формулу производной:
\[ y"(2) = 2A(2) - 4C(2)^3 = 4A - 32C \]

Таким образом, скорость материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды равна \( 4A - 32C \) (единицы измерения будут зависеть от размерности коэффициентов \( A \) и \( C \)).

2. Теперь рассчитаем ускорение материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды. Нам понадобится вторая производная функции \( y(t) \) по времени \( t \). Возьмем производную от уравнения \( y"(t) = 2At - 4Ct^3 \):
\[ y""(t) = 2A - 12Ct^2 \]

Подставим \( t = 2 \) в формулу производной, чтобы найти ускорение в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды:
\[ y""(2) = 2A - 12C(2)^2 = 2A - 48C \]

Таким образом, ускорение материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды равно \( 2A - 48C \) (единицы измерения будут зависеть от размерности коэффициентов \( A \) и \( C \)).

3. Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нужно найти среднюю скорость перемещения и среднюю путевую скорость материальной точки за период времени от 2 до 4 секунды.

Средняя скорость перемещения вычисляется как отношение изменения координаты к изменению времени. В данном случае, нам нужно найти изменение координаты и изменение времени в пределах интервала от 2 до 4 секунды.

Изначально у нас есть уравнение координаты \( y(t) = At^2 - Ct^4 \), где \( A \) и \( C \) - коэффициенты.

Найдем координаты материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды:
\[ y(2) = A(2)^2 - C(2)^4 = 4A - 16C \]

Затем найдем координаты материальной точки в момент времени \( t_2 = 4 \) секунды:
\[ y(4) = A(4)^2 - C(4)^4 = 16A - 256C \]

Изменение координаты равно разности значений координат в моменты \( t_2 = 4 \) и \( t_1 = 2 \) секунды:
\[ \Delta y = y(4) - y(2) = (16A - 256C) - (4A - 16C) = 12A - 240C \]

Изменение времени равно разности значений времени \( t_2 = 4 \) и \( t_1 = 2 \):
\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2 \]

Теперь мы можем найти среднюю скорость перемещения:
\[ \text{Средняя скорость} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{12A - 240C}{2} = 6A - 120C \]

Средняя скорость перемещения материальной точки за период времени от 2 до 4 секунды равна \( 6A - 120C \) (единицы измерения будут зависеть от размерности коэффициентов \( A \) и \( C \)).

Теперь перейдем к средней путевой скорости материальной точки за тот же период времени от 2 до 4 секунды. Средняя путевая скорость определяется как отношение пути, пройденного материальной точкой, к промежутку времени.

Путь равен модулю изменения координаты:
\[ \text{Путь} = |\Delta y| = |y(4) - y(2)| = |(16A - 256C) - (4A - 16C)| = |12A - 240C| \]

Тогда средняя путевая скорость может быть выражена следующим образом:
\[ \text{Средняя путевая скорость} = \frac{\text{Путь}}{\Delta t} = \frac{|12A - 240C|}{2} = |6A - 120C| \]

Средняя путевая скорость материальной точки за период времени от 2 до 4 секунды равна \( |6A - 120C| \) (единицы измерения будут зависеть от размерности коэффициентов \( A \) и \( C \)).

В итоге, мы нашли скорость и ускорение материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) секунды, а также среднюю скорость перемещения и среднюю путевую скорость за период времени от 2 до 4 секунды.