Какова скорость и ускорение точки в момент времени t=1/120 c? t=1/180 c? t=1/40 c, если точка совершает гармонические

Sofiya

62

Этот вопрос связан с изучением колебаний и описывает движение точки, совершающей гармонические колебания. Для получения подробного ответа, нам нужно знать выражения для скорости и ускорения точки в зависимости от времени.

Для точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой \(A\), частотой \(f\) и начальной фазой \(\varphi\), выражение для координаты \(x\) в зависимости от времени \(t\) имеет вид:

\[x = A \sin(2\pi ft + \varphi)\]

где \(2\pi ft\) является аргументом синуса, а \(\varphi\) - начальной фазой колебания.

Для того чтобы найти скорость и ускорение точки в момент времени \(t\), мы должны продифференцировать это выражение по времени.

1) В момент времени \(t = \frac{1}{120}\) секунд:

Дифференцируя выражение для \(x\) по времени, мы получим выражение для скорости точки:

\[v = \frac{dx}{dt} = 2\pi fA \cos(2\pi ft + \varphi)\]

Подставляя \(t = \frac{1}{120}\), \(A = 10\) см, \(f = 20\) Гц и \(\varphi = \frac{\pi}{2}\), получаем:

\[v = 2\pi \cdot 20 \cdot 10 \cdot \cos\left(2\pi \cdot 20 \cdot \frac{1}{120} + \frac{\pi}{2}\right)\]

2) В момент времени \(t = \frac{1}{180}\) секунд:

Аналогично, мы можем найти скорость точки. Подставляя \(t = \frac{1}{180}\), \(A = 10\) см, \(f = 20\) Гц и \(\varphi = \frac{\pi}{2}\):

\[v = 2\pi \cdot 20 \cdot 10 \cdot \cos\left(2\pi \cdot 20 \cdot \frac{1}{180} + \frac{\pi}{2}\right)\]

3) В момент времени \(t = \frac{1}{40}\) секунд:

Аналогично, мы можем найти скорость точки. Подставляя \(t = \frac{1}{40}\), \(A = 10\) см, \(f = 20\) Гц и \(\varphi = \frac{\pi}{2}\):

\[v = 2\pi \cdot 20 \cdot 10 \cdot \cos\left(2\pi \cdot 20 \cdot \frac{1}{40} + \frac{\pi}{2}\right)\]

Теперь давайте найдем выражение для ускорения точки. Для этого мы продифференцируем скорость по времени:

\[a = \frac{dv}{dt} = -4\pi^2 f^2 A \sin(2\pi ft + \varphi)\]

4) В момент времени \(t = \frac{1}{120}\) секунд:

Аналогично, мы можем найти ускорение точки. Подставляя \(t = \frac{1}{120}\), \(A = 10\) см, \(f = 20\) Гц и \(\varphi = \frac{\pi}{2}\):

\[a = -4\pi^2 \cdot 20^2 \cdot 10 \cdot \sin\left(2\pi \cdot 20 \cdot \frac{1}{120} + \frac{\pi}{2}\right)\]

5) В момент времени \(t = \frac{1}{180}\) секунд:

Аналогично, мы можем найти ускорение точки. Подставляя \(t = \frac{1}{180}\), \(A = 10\) см, \(f = 20\) Гц и \(\varphi = \frac{\pi}{2}\):

\[a = -4\pi^2 \cdot 20^2 \cdot 10 \cdot \sin\left(2\pi \cdot 20 \cdot \frac{1}{180} + \frac{\pi}{2}\right)\]

6) В момент времени \(t = \frac{1}{40}\) секунд:

Аналогично, мы можем найти ускорение точки. Подставляя \(t = \frac{1}{40}\), \(A = 10\) см, \(f = 20\) Гц и \(\varphi = \frac{\pi}{2}\):

\[a = -4\pi^2 \cdot 20^2 \cdot 10 \cdot \sin\left(2\pi \cdot 20 \cdot \frac{1}{40} + \frac{\pi}{2}\right)\]

Таким образом, мы получили подробные выражения для скорости и ускорения точки в момент времени \(t = \frac{1}{120}\) секунд, \(t = \frac{1}{180}\) секунд и \(t = \frac{1}{40}\) секунд. Можно заметить, что значения скорости и ускорения зависят от амплитуды, частоты и начальной фазы колебаний точки, а также от момента времени \(t\).