Какова скорость и ускорение точки в момент времени t=1/120 c? t=1/180 c? t=1/40 c, если точка совершает гармонические

Sofiya

62

Этот вопрос связан с изучением колебаний и описывает движение точки, совершающей гармонические колебания. Для получения подробного ответа, нам нужно знать выражения для скорости и ускорения точки в зависимости от времени.

Для точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой $A$, частотой $f$ и начальной фазой $\phi$, выражение для координаты $x$ в зависимости от времени $t$ имеет вид:

$$x=A\sin (2\pi ft+\phi )$$

где $2\pi ft$ является аргументом синуса, а $\phi$ - начальной фазой колебания.

Для того чтобы найти скорость и ускорение точки в момент времени $t$, мы должны продифференцировать это выражение по времени.

1) В момент времени $t=\frac{1}{120}$ секунд:

Дифференцируя выражение для $x$ по времени, мы получим выражение для скорости точки:

$$v=\frac{dx}{dt}=2\pi fA\cos (2\pi ft+\phi )$$

Подставляя $t=\frac{1}{120}$, $A=10$ см, $f=20$ Гц и $\phi =\frac{\pi }{2}$, получаем:

$$v=2\pi \cdot 20\cdot 10\cdot \cos (2\pi \cdot 20\cdot \frac{1}{120}+\frac{\pi }{2})$$

2) В момент времени $t=\frac{1}{180}$ секунд:

Аналогично, мы можем найти скорость точки. Подставляя $t=\frac{1}{180}$, $A=10$ см, $f=20$ Гц и $\phi =\frac{\pi }{2}$:

$$v=2\pi \cdot 20\cdot 10\cdot \cos (2\pi \cdot 20\cdot \frac{1}{180}+\frac{\pi }{2})$$

3) В момент времени $t=\frac{1}{40}$ секунд:

Аналогично, мы можем найти скорость точки. Подставляя $t=\frac{1}{40}$, $A=10$ см, $f=20$ Гц и $\phi =\frac{\pi }{2}$:

$$v=2\pi \cdot 20\cdot 10\cdot \cos (2\pi \cdot 20\cdot \frac{1}{40}+\frac{\pi }{2})$$

Теперь давайте найдем выражение для ускорения точки. Для этого мы продифференцируем скорость по времени:

$$a=\frac{dv}{dt}=-4{\pi }^2{f}^{2}A\sin (2\pi ft+\phi )$$

4) В момент времени $t=\frac{1}{120}$ секунд:

Аналогично, мы можем найти ускорение точки. Подставляя $t=\frac{1}{120}$, $A=10$ см, $f=20$ Гц и $\phi =\frac{\pi }{2}$:

$$a=-4{\pi }^2\cdot {20}^2\cdot 10\cdot \sin (2\pi \cdot 20\cdot \frac{1}{120}+\frac{\pi }{2})$$

5) В момент времени $t=\frac{1}{180}$ секунд:

Аналогично, мы можем найти ускорение точки. Подставляя $t=\frac{1}{180}$, $A=10$ см, $f=20$ Гц и $\phi =\frac{\pi }{2}$:

$$a=-4{\pi }^2\cdot {20}^2\cdot 10\cdot \sin (2\pi \cdot 20\cdot \frac{1}{180}+\frac{\pi }{2})$$

6) В момент времени $t=\frac{1}{40}$ секунд:

Аналогично, мы можем найти ускорение точки. Подставляя $t=\frac{1}{40}$, $A=10$ см, $f=20$ Гц и $\phi =\frac{\pi }{2}$:

$$a=-4{\pi }^2\cdot {20}^2\cdot 10\cdot \sin (2\pi \cdot 20\cdot \frac{1}{40}+\frac{\pi }{2})$$

Таким образом, мы получили подробные выражения для скорости и ускорения точки в момент времени $t=\frac{1}{120}$ секунд, $t=\frac{1}{180}$ секунд и $t=\frac{1}{40}$ секунд. Можно заметить, что значения скорости и ускорения зависят от амплитуды, частоты и начальной фазы колебаний точки, а также от момента времени $t$.