Какова скорость полета струи, выходящей из шприца диаметром 4 см, когда на поршень действует сила 30 Н? Площадь

Мартышка

49

Для решения задачи, давайте воспользуемся уравнением Бернулли, которое описывает зависимость давления, скорости и высоты в жидкости или газе при стационарном потоке. Уравнение Бернулли гласит:

\[P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\]

Где:
- \(P_1\) и \(P_2\) - давления в различных точках потока (в данном случае, \(P_1\) - атмосферное давление, а \(P_2\) - давление в струе)
- \(\rho\) - плотность жидкости (в данном случае, плотность воды равна \(1000 \, \text{кг/м}^3\))
- \(v_1\) и \(v_2\) - скорости потока в различных точках (в данном случае, \(v_1 = 0 \, \text{м/с}\), так как шприц открыт в атмосферу, и \(v_2\) - искомая скорость струи)
- \(g\) - ускорение свободного падения (\(9.8 \, \text{м/с}^2\))
- \(h_1\) и \(h_2\) - высоты в различных точках потока (в данном случае, \(h_1\) - высота атмосферы, а \(h_2\) - высота струи, можно считать их одинаковыми, поскольку они находятся на одном уровне)

Учитывая, что атмосферное давление можно принять за \(P_1 = 0\), уравнение Бернулли преобразуется к следующему виду:

\[\frac{1}{2}\rho v_2^2 = \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{1}{2} \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 0^2 + 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot h_1\]

Так как высота \(h_1\) не указана, атмосферное давление в начале и конце потока одинаково, и скорость \(v_1\) равна нулю, уравнение упрощается к следующему виду:

\[\frac{1}{2} v_2^2 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot h_1\]

Теперь рассмотрим аналогичную ситуацию с поршнем и отверстием шприца. В данном случае, давление внутри шприца равно атмосферному давлению \(P_1 = 0\) и площадь поршня значительно больше площади отверстия. Согласно принципу Паскаля, давление внутри шприца равно силе, действующей на поршень, деленной на площадь поршня:

\[P_2 = \frac{F}{A}\]

Где:
- \(F\) - сила, действующая на поршень (\(30 \, \text{Н}\))
- \(A\) - площадь поршня

Теперь, когда мы знаем значение давления \(P_2\) и площадь поршня \(A\), мы можем найти скорость струи.

Для этого используем уравнение Бернулли:

\[\frac{1}{2}\rho v_2^2 = \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1\]

Так как \(v_1 = 0\) и \(h_1 = 0\), уравнение упрощается до:

\[\frac{1}{2}\rho v_2^2 = P_2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{1}{2} \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot v_2^2 = \frac{30 \, \text{Н}}{A}\]

Заметим, что площадь поршня \(A\) прямо пропорциональна квадрату его диаметра \(D\):

\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]

В данной задаче диаметр поршня равен 4 см, поэтому площадь поршня:

\[A = \frac{\pi \cdot (0.04 \, \text{м})^2}{4}\]

Подставляя это значение в уравнение, получаем:

\[\frac{1}{2} \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot v_2^2 = \frac{30 \, \text{Н}}{\frac{\pi \cdot (0.04 \, \text{м})^2}{4}}\]

Путем решения этого уравнения можно найти скорость струи \(v_2\).