Какова скорость ракеты до разделения, если скорости первой и второй ступеней равны v1 = 170 м/с и v2

Тропик

69

Хорошо, рассмотрим эту задачу.

Для начала, давайте воспользуемся законом сохранения импульса. По этому закону сумма импульсов до и после разделения должна оставаться неизменной.

Импульс - это произведение массы на скорость. Поэтому, можно записать выражение для импульса системы до разделения ракеты:

\( P_1 = m_1 \cdot v_1 \)

Аналогично, можно записать выражение для импульса системы после разделения ракеты:

\( P_2 = m_2 \cdot v_2 + m_{\text{ост}} \cdot v_{\text{ост}} \)

Здесь \( m_2 \) - масса второй ступени, \( v_2 \) - скорость второй ступени, \( m_{\text{ост}} \) - масса разделения (остатка), \( v_{\text{ост}} \) - скорость разделения (остатка).

После разделения скорость остатка \( v_{\text{ост}} \) будет равна скорости ракеты до разделения \( v_1 \), поскольку разделение возникает без потери внутренней энергии.

Очевидно, что масса остатка должна быть равной разности начальной массы ракеты и суммы масс первой и второй ступеней:

\( m_{\text{ост}} = m - m_1 - m_2 \)

где \( m \) - начальная масса ракеты.

Теперь мы можем записать выражения для импульсов системы до и после разделения:

\( P_1 = m_1 \cdot v_1 \)
\( P_2 = m_2 \cdot v_2 + (m - m_1 - m_2) \cdot v_1 \)

Так как сумма импульсов должна быть одинаковой до и после разделения, мы получаем уравнение:

\( P_1 = P_2 \)

или

\( m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 + (m - m_1 - m_2) \cdot v_1 \)

Раскроем скобки:

\( m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 + m \cdot v_1 - m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_1 \)

Упростим:

\( m_1 \cdot v_1 - m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 - m_2 \cdot v_1 + m \cdot v_1 \)

Теперь выразим скорость остатка:

\( m \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 - m_2 \cdot v_1 + m \cdot v_1 \)

Сократим общее слагаемое \( m \cdot v_1 \) с обеих сторон уравнения:

\( 0 = m_2 \cdot v_2 - m_2 \cdot v_1 \)

Теперь выразим скорость остатка, поделив обе части уравнения на \( m_2 \):

\( v_{\text{ост}} = v_2 - v_1 \)

Таким образом, скорость ракеты до разделения равна разности скоростей первой и второй ступеней:

\( v_{\text{ракеты}} = v_1 + (v_2 - v_1) = v_2 \)

Таким образом, скорость ракеты до разделения равна \( v_2 = 200 \, \text{м/с} \).