Какова скорость тела во времена t1=1c и t2=2,5, если его движение описывается уравнением х= 60sin 2пt?

Лиса_8530

63

Для решения данной задачи нам необходимо использовать уравнение движения, которое дано в условии: \(x = 60\sin(2\pi t)\), где \(x\) - координата тела в момент времени \(t\), \(t\) - время.

Чтобы найти скорость тела, нам необходимо найти производную уравнения движения по времени. В данном случае, производная функции синуса может быть найдена с использованием цепного правила дифференцирования.

Давайте найдем производную уравнения движения по времени \(t\):

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (60\sin(2\pi t))\]

Дифференцируя полученное уравнение, мы получаем:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = 60\cdot\frac{{d}}{{dt}}(\sin(2\pi t))\]

Согласно цепному правилу дифференцирования, производная функции \(\sin(2\pi t)\) будет равна \(\cos(2\pi t)\) умноженному на производную аргумента, которым является \(2\pi t\).

\[\frac{{dx}}{{dt}} = 60\cdot \cos(2\pi t) \cdot \frac{{d}}{{dt}}(2\pi t)\]

Производная по \(t\) от \(2\pi t\) равна просто \(2\pi\), так как \(t\) - это независимая переменная, а \(2\pi\) - это константа.

\[\frac{{dx}}{{dt}} = 60\cdot \cos(2\pi t)\cdot 2\pi\]

Теперь у нас есть выражение для скорости тела в момент времени \(t\):

\[v = \frac{{dx}}{{dt}} = 60\cdot \cos(2\pi t)\cdot 2\pi\]

Теперь подставим значения времени \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 2.5\) в полученное выражение, чтобы найти скорости в эти моменты времени:

\[v_1 = 60\cdot \cos(2\pi \cdot 1)\cdot 2\pi\]
\[v_2 = 60\cdot \cos(2\pi \cdot 2.5)\cdot 2\pi\]

Проделаем вычисления:

\[v_1 = 60\cdot \cos(2\pi)\cdot 2\pi\]
\[v_1 = 60\cdot 1\cdot 2\pi\]
\[v_1 \approx 376.99 \ \text{единиц скорости}\]

\[v_2 = 60\cdot \cos(2\pi \cdot 2.5)\cdot 2\pi\]
\[v_2 = 60\cdot \cos(5\pi)\cdot 2\pi\]
\[v_2 = 60\cdot (-1)\cdot 2\pi\]
\[v_2 \approx -376.99 \ \text{единиц скорости}\]

Таким образом, скорость тела в момент времени \(t_1 = 1\) составляет примерно 376.99 единиц скорости, а скорость тела в момент времени \(t_2 = 2.5\) составляет примерно -376.99 единиц скорости. Знак минус перед второй скоростью указывает на то, что движение тела в это время происходит в противоположном направлении.