Какова скорость теплохода в стоячей воде, если он проплыл расстояние между двумя мостами, которое вдоль реки составляет

Solnechnyy_Briz_7591

39

Чтобы решить эту задачу, мы используем формулу для вычисления скорости тела по отношению к противоположным движению среды. В данном случае теплоход движется вдоль реки, и на его скорость влияет скорость реки.

При движении вдоль реки (вверх по течению) скорость теплохода \( V_1 \) вычисляется по формуле:

\[ V_1 = V_0 - V_r \]

где \( V_0 \) - скорость теплохода в стоячей воде, а \( V_r \) - скорость реки.

При движении против реки (вниз по течению) скорость теплохода \( V_2 \) вычисляется аналогично:

\[ V_2 = V_0 + V_r \]

В данной задаче, если теплоход проплыл расстояние между двумя мостами и вернулся обратно за 5 часов и 12 минут (известно, что путь занимает 42 км, а остановка на 12 минут), то время движения в каждом направлении равно.

Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как \( V_0 \). Тогда решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{42}{V_0 - 3} = \frac{42}{V_0 + 3} + \frac{12}{60} \\
\frac{42}{V_0 + 3} = \frac{42}{V_0 - 3} + \frac{12}{60}
\end{cases}
\]

Далее, решим первое уравнение:

\[
\frac{42}{V_0 - 3} = \frac{42}{V_0 + 3} + \frac{12}{60}
\]

\[
\frac{42}{V_0 - 3} = \frac{42}{V_0 + 3} + \frac{1}{5}
\]

Умножим обе части уравнения на \(5(V_0 - 3)(V_0 + 3)\):

\[
5(V_0 - 3)(V_0 + 3) \cdot \frac{42}{V_0 - 3} = 5(V_0 - 3)(V_0 + 3) \cdot \frac{42}{V_0 + 3} + 5(V_0 - 3)(V_0 + 3) \cdot \frac{1}{5}
\]

Упростим выражение:

\[
5 \cdot 42 \cdot (V_0 + 3) = 5 \cdot 42 \cdot (V_0 - 3) + (V_0 - 3)(V_0 + 3)
\]

\[
210(V_0 + 3) = 210(V_0 - 3) + (V_0^2 - 9)
\]

Раскроем скобки:

\[
210V_0 + 630 = 210V_0 - 630 + V_0^2 - 9
\]

Упростим выражение:

\[
0 = V_0^2 - 9 - 1260
\]

\[
V_0^2 = 1269
\]

Возьмем положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной:

\[
V_0 = \sqrt{1269}
\]

Подставим значение в формулы для скоростей:

\[
V_1 = \sqrt{1269} - 3
\]

\[
V_2 = \sqrt{1269} + 3
\]

Получаем, что скорость теплохода в стоячей воде равна:

\[
V_0 = \sqrt{1269} \approx 35.67 \, \text{км/ч}
\]

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде примерно равна 35.67 км/ч.