Какова средняя энергия движения молекул идеального газа при температуре 27 °C в случайном прямолинейном направлении?

Svetlyachok

29

Средняя энергия движения молекул идеального газа может быть вычислена с использованием формулы Кинетической теоремы.

Кинетическая энергия молекулы \( E_k \) зависит от её массы \( m \) и скорости \( v \) и определяется по формуле:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

В идеальном газе, молекулы совершают хаотическое тепловое движение со скоростями, распределенными по Максвеллу. Максвелловское распределение скоростей гласит, что вероятность \( dP \) найти молекулу с проекцией скорости на ось от \( v \) до \( v+dv \) определяется выражением:

\[ dP(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv \]

где:
- \( m \) - масса молекулы
- \( k \) - постоянная Больцмана (\( 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \))
- \( T \) - температура в Кельвинах
- \( v \) - скорость молекулы
- \( e \) - основание натурального логарифма (\( 2.71 \))

Для определения средней энергии движения молекулы нам нужно найти среднее значение \( \langle E_k \rangle \) кинетической энергии молекулы, интегрируя \( E_k \) по всем возможным значениям скорости \( v \) с использованием Максвелловского распределения скоростей.

\[ \langle E_k \rangle = \int_{0}^{\infty} E_k(v) dP(v) \]

Для простоты расчетов, мы можем рассмотреть только проекции скорости молекулы на одну ось, поскольку движение молекулы в разных направлениях является статистически равномерным. Таким образом, средняя энергия движения молекулы равна среднему значению кинетической энергии для одной оси.

Подставим формулу для \( E_k \) в выражение для \( \langle E_k \rangle \) и интегрируем:

\[ \langle E_k \rangle = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} m v^2 dP(v) \]

\[ \langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m \int_{0}^{\infty} v^2 \left(4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \right) dv \]

Упростим это выражение и произведем несколько алгебраических преобразований:

\[ \langle E_k \rangle = 2 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} v^4 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv \]

Введем замену переменной \( x = \frac{mv^2}{2kT} \), тогда \( dx = \frac{mv}{kT} dv \):

\[ \langle E_k \rangle = 2 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{2kTx}{m} \right)^{\frac{2}{3}} e^{-x} \left( \frac{2kTx}{m} \right) \left( \frac{m}{2kT} \right) dx \]

\[ \langle E_k \rangle = 2 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} \left( \frac{2kT}{m} \right)^{\frac{2}{3}} \int_{0}^{\infty} x^{\frac{5}{3}} e^{-x} dx \]

\[ \langle E_k \rangle = 2 \pi \left( \frac{2kT}{m} \right)^{\frac{2}{3}} \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(\frac{5}{3}\right) \]

Где \( \Gamma \) - гамма-функция. Для упрощения расчетов, вычислим значение гамма-функции и подставим его в формулу:

\[ \Gamma\left(\frac{5}{3}\right) \approx 1.354 \]

Теперь подставим это значение в нашу формулу:

\[ \langle E_k \rangle \approx 2 \pi \left( \frac{2kT}{m} \right)^{\frac{2}{3}} \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\frac{3}{2}} \times 1.354 \]

\[ \langle E_k \rangle \approx 1.354 \times \left( \frac{2kT}{m} \right)^{\frac{2}{3}} \]

Зная значения констант \( k \) и \( T \), а также массу \( m \), мы можем вычислить среднюю энергию движения молекулы идеального газа при заданной температуре. Не забудьте преобразовать температуру из градусов Цельсия в Кельвины.

Учитывая, что у нас есть температура \( T = 27 \) °C, то в Кельвинах это будет \( T = 27 + 273 = 300 \) Кельвинов. Для простоты расчетов, предположим, что молекула идеального газа - это атом водорода, масса которого \( m = 1.67 \times 10^{-27} \) кг.

Подставим эти значения в формулу:

\[ \langle E_k \rangle \approx 1.354 \times \left( \frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1.67 \times 10^{-27}} \right)^{\frac{2}{3}} \]

\[ \langle E_k \rangle \approx 1.354 \times \left( \frac{2.76 \times 10^{-20}}{1.67 \times 10^{-27}} \right)^{\frac{2}{3}} \]

\[ \langle E_k \rangle \approx 1.354 \times \left( 1.65 \times 10^{7} \right)^{\frac{2}{3}} \]

\[ \langle E_k \rangle \approx 1.354 \times 2.96 \times 10^{3} \]

\[ \langle E_k \rangle \approx 4.01 \times 10^{3} \]

Таким образом, средняя энергия движения молекулы идеального газа при температуре 27 °C составляет около \( 4.01 \times 10^{3} \) Дж.