Какова сторона правильного восьмиугольника, образовавшегося после отрезания углов квадрата со стороной

Evgeniy

52

А чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно провести некоторые геометрические рассуждения. Давайте начнем с квадрата. Мы знаем, что у квадрата все стороны равны.

Пусть сторона квадрата имеет длину \(a\).

Когда мы отрезаем углы этого квадрата и соединяем получившиеся точки, мы образуем восьмиугольник.

Посмотрим на один из углов восьмиугольника. Такой угол будет равен \(45^\circ\), потому что квадрат имеет угол \(90^\circ\), и когда мы отрезаем его пополам, получаем угол \(45^\circ\).

Разделим восьмиугольник на два прямоугольных треугольника, представляющих собой половины восьмиугольника. Так как угол между одной из сторон восьмиугольника и его диагональю равен \(45^\circ\) в каждом треугольнике, у нас есть два прямоугольных треугольника с углами \(45^\circ\), \(45^\circ\) и \(90^\circ\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для одного из этих треугольников. Пусть сторона треугольника равна \(x\) (это будет длина стороны восьмиугольника, которую мы ищем), а гипотенуза - это диагональ квадрата длиной \(a\).

Теорема Пифагора говорит нам, что в квадрате гипотенузы равно сумме квадратов катетов, поэтому мы можем записать:

\[x^2 + x^2 = a^2\]

Складывая квадраты, мы получаем:

\[2x^2 = a^2\]

Теперь разделим обе стороны на 2:

\[x^2 = \frac{a^2}{2}\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

\[x = \sqrt{\frac{a^2}{2}}\]

Итак, сторона правильного восьмиугольника, образовавшегося после отрезания углов квадрата со стороной \(a\), равна \(\sqrt{\frac{a^2}{2}}\).

Мы можем объяснить смысл этого решения следующим образом: когда мы отрезаем углы квадрата и соединяем полученные точки, мы получаем восьмиугольник с несколькими правильными треугольниками. Рассматривая один из этих треугольников, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины его стороны. Решая уравнение, мы получаем, что сторона восьмиугольника равна половине диагонали квадрата.