Какова сторона равнобедренного треугольника, если соотношение основания к боковой стороне составляет 4:10

Solnechnyy_Pirog

7

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренных треугольников.

Пусть \(x\) - длина основания равнобедренного треугольника, и \(y\) - длина боковой стороны треугольника.

Зная, что соотношение основания к боковой стороне составляет 4:10, мы можем записать следующее уравнение:
\(\frac{x}{y} = \frac{4}{10}\)

Для нахождения периметра \(P\) равнобедренного треугольника можно использовать формулу \(P = 2x + y + y\) (два раза боковая сторона, один раз основание).

Известно, что периметр треугольника равен 96 см, поэтому мы можем записать уравнение:
\(2x + y + y = 96\)

Давайте начнем с решения второго уравнения:
\(2x + y + y = 96\)
\(2x + 2y = 96\)

Далее, мы можем применить первое уравнение, чтобы избавиться от одной переменной. Умножим его на 2, чтобы уравнять коэффициенты при \(x\):
\(2 \cdot \frac{x}{y} = 2 \cdot \frac{4}{10}\)
\(\frac{2x}{y} = \frac{8}{10}\)
\(\frac{2x}{y} = \frac{4}{5}\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\(\begin{cases} 2x + 2y = 96 \\ \frac{2x}{y} = \frac{4}{5} \end{cases}\)

Решение этой системы уравнений даст нам значения \(x\) и \(y\), которые мы ищем.

Перейдем к решению системы:

Для начала, найдем значение \(y\).
Из второго уравнения системы мы можем выразить \(x\) через \(y\):
\(2x = \frac{4}{5}y\)
\(x = \frac{2}{5}y\)

Подставим это значение \(x\) в первое уравнение системы:
\(2 \cdot \frac{2}{5}y + 2y = 96\)
\(\frac{4}{5}y + 2y = 96\)
\(\frac{4}{5}y + \frac{10}{5}y = 96\) (приведение к общему знаменателю)
\(\frac{14}{5}y = 96\) (сумма дробей)
\(14y = 96 \cdot 5\) (умножение обеих сторон на 5)
\(14y = 480\) (упрощение)

Теперь найдем значение \(y\):
\(y = \frac{480}{14}\)
\(y = 34.29\)

Используем найденное значение \(y\) для нахождения \(x\):
\(x = \frac{2}{5} \cdot 34.29\)
\(x = 13.72\)

Таким образом, мы получили значения сторон равнобедренного треугольника в порядке возрастания: \(13.72; 34.29\) (с точностью до двух знаков после запятой).

Ответ: сторона равнобедренного треугольника составляет 13.72 см; 34.29 см.